Question

Найтите обьем тела, полученного в результате вращения вокруг оси X фигуры, ограниченной данными линиями : Обчисліть об'єм тіла, утворенного обертанням навколо осі X фігури, обмеженної заданими лініями : y=x^2, x=1, y=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси X, ограниченной кривыми y = x^2, x = 1 и y = 0, мы можем использовать метод цилиндрического наращивания (метод дисковых колец).

1. Сначала найдем точки пересечения кривых y = x^2 и x = 1. Подставим x = 1 в уравнение кривой y = x^2:

   y = 1^2 = 1

   Точка пересечения будет (1, 1).

2. Теперь мы можем создать интегральное выражение для объема вращения тела. Объем тела можно выразить как интеграл от 0 до 1 (где 0 - это начальная точка и 1 - точка пересечения) от площади кругового сечения на каждом расстоянии x от оси X:

   V = ∫[0, 1] A(x) dx

   Где A(x) - площадь кругового сечения, которая будет равна π * r^2, где r - это расстояние от кривой y = x^2 до оси X в данной точке.

3. Расстояние r в данной точке можно найти как разницу между x и y:

   r = x - 0 = x

4. Теперь мы можем выразить площадь кругового сечения:

   A(x) = π * (x^2)^2 = π * x^4

5. Подставим это выражение в интеграл для объема:

   V = ∫[0, 1] π * x^4 dx

6. Теперь вычислим этот интеграл:

   V = π * [x^5 / 5] | от 0 до 1

   V = π * [(1^5 / 5) - (0^5 / 5)]

   V = π * (1/5 - 0)

   V = π/5

Итак, объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривыми y = x^2, x = 1 и y = 0 вокруг оси X, равен π/5 кубических единиц (единиц объема).