Question

61. 1) x² - 4x + 6 > 0; 3) x² + x + 2 > 0; 5) 2x² - 3x + 7 < 0; 2) x² + 6x + 10 < 0; 4) x² + 3x + 5 < 0; 6) 4x² - 8x + 9 > 0. решите квадратное неравенство​

Answer 1

Ответ:

3)Давайте построим график функции y = x² + x + 2. Квадратное уравнение y = x² + x + 2 = 0 имеет дискриминант D = 1 - 4 * 1 * 2 = -7. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, то есть его график не пересекает ось x.

Значит, зависимость y = x² + x + 2 положительна для всех значений x. Следовательно, неравенство x² + x + 2 > 0 верно для всех действительных значений x.

5)Для решения данного квадратного неравенства, нам нужно найти интервалы, в которых оно выполняется. Для начала, найдем корни квадратного уравнения, соответствующего данному неравенству, и чтобы его корни нашли, равенство должно быть выполнено:

2x² — 3x + 7 = 0

Для нахождения корней, воспользуемся формулой дискриминанта D = b² — 4ac:

D = (-3)² — 4 * 2 * 7

D = 9 — 56

D = -47

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что квадратное неравенство будет иметь одно из двух значений: либо все значения x будут его удовлетворять, либо ни одно.

Так как коэффициент a (при x²) положительный, график параболы будет направлен вверх. Это означает, что у нас будет ветвь параболы, которая будет направлена вверх.

Чтобы определить, в каких интервалах неравенство будет удовлетворено, рассмотрим значение параболы вне точек пересечения с осью x.

Чтобы узнать значения параболы вне точек пересечения с осью x, найдем вершину параболы. Формулы для нахождения координат вершины параболы: x = -b/ (2a) и y = -D/ (4a).

x = -(-3) / (2 * 2)

x = 3 / 4

Объяснение:

1)Начнем с того, что найдем вершины параболы, представленной уравнением x² - 4x + 6 = 0. Для этого воспользуемся формулой:

x = -b/(2*a),

где a, b и c - коэффициенты при x², x и свободный член соответственно.

В нашем случае, a = 1, b = -4 и c = 6. Подставим значения в формулу:

x = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2.

То есть вершина параболы находится в точке (2, f(2)), где f(x) - это значение параболической функции.

2. Теперь определим, какая ветвь параболы находится выше оси x и какая ниже. Мы знаем, что у параболы с положительным коэффициентом a конкавность направлена вверх.

Учитывая, что a = 1, парабола направлена вверх. Значит, ветвь параболы, которая находится ниже оси x, будет представлять собой интервал решений для неравенства x² - 4x + 6 > 0.

3. Чтобы определить, в каких интервалах функция положительна, а в каких - отрицательна, мы можем взять произвольные точки из каждого интервала и подставить их в исходное неравенство

Для удобства, я буду использовать числа, близкие к вершине параболы, то есть точку x = 2. Тогда мы можем проверить неравенство x² - 4x + 6 > 0 для трех интервалов:

- Интервал (-∞, 2):

  Подставляя х = 0, получим 0² - 4*0 + 6 > 0, что явно выполняется.

- Интервал (2, +∞):

  Подставляя х = 3, получим 3² - 4*3 + 6 > 0, что также выполняется.

- Интервал x = 2 (вершина параболы):

  Подставляя х = 2, получим 2² - 4*2 + 6 = 0. Данное уравнение не является строго положительным, поэтому значение x = 2 не является решением исходного неравенства.

Исходя из проведенных проверок, мы можем сделать вывод, что неравенство x² - 4x + 6 > 0 выполняется для интервала (-∞, 2) объединенного с интервалом (2, +∞).

2)Для начала, заметим, что у нас есть квадратный трёхчлен в левой части неравенства. Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения переменной x, при которых выражение x² + 6x + 10 < 0.

Когда квадратный трёхчлен меньше нуля, это означает, что он имеет отрицательные значения. Для этого требуется, чтобы у него не было корней или чтобы все его корни находились вне интервала, где он отрицателен.

Для того чтобы найти корни этого квадратного трёхчлена, мы можем использовать формулу дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D = b² - 4ac, где a = 1, b = 6 и c = 10

D = 6² - 4 * 1 * 10

D = 36 - 40

D = -4

Как видно, дискриминант отрицательный. Это значит, что у квадратного трёхчлена нет действительных корней, и он не пересекает ось x. Следовательно, он всегда будет иметь один и тот же знак.

Теперь посмотрим на лидирующий коэффициент квадратного трёхчлена, a. В нашем случае a = 1, то есть положительный коэффициент. Это означает, что квадратный трёхчлен будет выпуклым вверх.

Так как у нас нет корней и коэффициент a положительный, мы можем сделать вывод, что значения квадратного трёхчлена положительны за пределами его корней. Следовательно, x² + 6x + 10 < 0 не имеет решений.

Итак, решением квадратного неравенства x² + 6x + 10 < 0 является пустое множество ({}), то есть неравенство не имеет решений.

Answer 2

Конечно, рассмотрим данные квадратные неравенства:

1) \(x^2 - 4x + 6 > 0\) 2) \(x^2 + x + 2 > 0\) 3) \(2x^2 - 3x + 7 < 0\) 4) \(x^2 + 6x + 10 < 0\) 5) \(x^2 + 3x + 5 < 0\) 6) \(4x^2 - 8x + 9 > 0\)

Для решения этих неравенств нужно использовать разные методы, в зависимости от их типа. Давайте начнем.

1) \(x^2 - 4x + 6 > 0\)

Это квадратное уравнение, которое представляет собой параболу, направленную вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положителен.

Давайте найдем корни уравнения \(x^2 - 4x + 6 = 0\). Мы можем воспользоваться квадратным трехчленом:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где у нас уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\).

Для \(x^2 - 4x + 6 = 0\), \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = 6\):

\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2}\] \[x = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{2}\]

Корни не являются действительными числами, следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах. Это означает, что парабола не пересекает ось \(x\) и находится полностью выше оси \(x\).

2) \(x^2 + x + 2 > 0\)

Это уравнение представляет собой параболу, направленную вверх. Как и в предыдущем случае, найдем корни уравнения \(x^2 + x + 2 = 0\). Однако, здесь у нас не будет действительных корней, так как дискриминант \(b^2 - 4ac\) отрицательный.

3) \(2x^2 - 3x + 7 < 0\)

Это тоже квадратное уравнение, которое представляет собой параболу, направленную вверх. Найдем его корни:

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}\] \[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 56}}{4}\] \[x = \frac{3 \pm \sqrt{-47}}{4}\]

Так как дискриминант отрицательный, корни не являются действительными числами, следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах. Парабола находится полностью выше оси \(x\).

4) \(x^2 + 6x + 10 < 0\)

Это уравнение представляет собой параболу, направленную вверх. Найдем его корни:

\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}\] \[x = \frac{-6 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

Так как дискриминант отрицательный, корни не являются действительными числами, уравнение не имеет решений в действительных числах.

5) \(x^2 + 3x + 5 < 0\)

Это уравнение также представляет собой параболу, направленную вверх. Найдем его корни:

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2}\] \[x = \frac{-3 \pm \sqrt{-11}}{2}\]

Так как дискриминант отрицательный, корни не являются действительными числами, уравнение не имеет решений в действительных числах.

6) \(4x^2 - 8x + 9 > 0\)

Это уравнение представляет собой параболу, направленную вверх. Найдем его корни:

\[x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}\] \[x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 144}}{8}\] \[x = \frac{8 \pm \sqrt{-80}}{8}\]

Так как дискриминант отрицательный, корни не являются действительными числами, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Итак, все данные квадратные неравенства не имеют решений в действительных числах, так как они представляют собой параболы, которые не пересекают ось \(x\) и находятся полностью выше (или ниже) этой оси.