Question

Найдите множество значений функции: а)y=x²-8x+12 б)y=6x-4x в)y=(x-4)(x-6)+3 г)y=10-(x-7)(x+3)

Answer 1

Ответ:

Помогла с чем смогла, вот))

Answer 2

Конечно, давайте решим каждую из заданных функций по очереди.

а) \(y = x^2 - 8x + 12\)

Чтобы найти множество значений функции, давайте сначала найдем вершину параболы. Вершина параболы \(y = ax^2 + bx + c\) имеет координаты \((-b/2a, f(-b/2a))\). В данном случае \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 12\).

\[\text{Вершина} \left(\frac{-(-8)}{2 \cdot 1}, f\left(\frac{-(-8)}{2 \cdot 1}\right)\right) = (4, f(4))\]

Теперь подставим \(x = 4\) в уравнение и найдем значение функции:

\[f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12\]

Рассчитаем:

\[f(4) = 16 - 32 + 12 = -4\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((4, -4)\).

Множество значений функции будет все значения \(y\), которые она может принимать. Поскольку у нас есть парабола вниз (коэффициент при \(x^2\) положителен), значит, функция принимает все значения, начиная с вершины и уходя в бесконечность вниз. Таким образом, множество значений функции \(y = x^2 - 8x + 12\) - это все отрицательные значения \(y\), начиная с -4 и уходя в бесконечность.

б) \(y = 6x - 4x\)

Это выражение можно упростить:

\[y = 6x - 4x = 2x\]

Таким образом, множество значений функции \(y = 6x - 4x\) - это все вещественные числа, потому что \(2x\) может принимать любые значения в зависимости от значения \(x\).

в) \(y = (x-4)(x-6) + 3\)

Раскроем скобки и упростим:

\[y = x^2 - 6x - 4x + 24 + 3 = x^2 - 10x + 27\]

Теперь, как и в первом случае, вершина параболы имеет координаты \(\left(\frac{-(-10)}{2 \cdot 1}, f\left(\frac{-(-10)}{2 \cdot 1}\right)\right)\). Рассчитаем:

\[\text{Вершина} \left(\frac{10}{2}, f\left(\frac{10}{2}\right)\right) = (5, f(5))\]

Теперь подставим \(x = 5\) в уравнение и найдем значение функции:

\[f(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 + 27\]

Рассчитаем:

\[f(5) = 25 - 50 + 27 = 2\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((5, 2)\).

Множество значений функции \(y = (x-4)(x-6) + 3\) также будет все значения \(y\), которые она может принимать. Поскольку у нас есть парабола вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен), функция принимает все значения, начиная с вершины и уходя в бесконечность вверх. Таким образом, множество значений функции - это все значения \(y\), начиная с 2 и уходя в бесконечность.

г) \(y = 10 - (x-7)(x+3)\)

Раскроем скобки и упростим:

\[y = 10 - (x^2 - 7x + 3x - 21) = 10 - x^2 + 4x + 21\]

Теперь у нас есть квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при \(x^2\). Это значит, что парабола открывается вниз.

Таким образом, множество значений функции \(y = 10 - (x-7)(x+3)\) - это все значения \(y\), которые она может принимать. Поскольку у нас есть парабола вниз, функция принимает все значения, начиная с вершины и уходя в бесконечность вниз. Чтобы найти вершину, снова воспользуемся формулой \(\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)\). В данном случае \(a = -1\), \(b = 4\).

\[\text{Вершина} \left(\frac{-4}{2 \cdot (-1)}, f\left(\frac{-4}{2 \cdot (-1)}\right)\right) = (2, f(2))\]

Теперь подставим \(x = 2\) в уравнение и найдем значение функции:

\[f(2) = 10 - 2^2 + 4 \cdot 2 + 21\]

Рассчитаем:

\[f(2) = 10 - 4 + 8 + 21 = 35\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((2, 35)\).

Множество значений функции \(y = 10 - (x-7)(x+3)\) - это все значения \(y\), начиная с 35 и уходя в бесконечность вниз.