Question

5. Доведіть, що при будь-якому натуральному значеннi n зна- чення виразу 17^2+14•11^n-3•5^n+1 кратне 6 Докажите, что при любом натуральном значении n зна- чение выражения 17^2+14•11^n-3•5^n+1 кратное 6 БУДУ БЛАГОДАРНА!

Answer 1

Для доказательства того, что выражение 17^2+14•11^n-3•5^n+1 кратно 6 при любом натуральном значении n, нужно показать, что оно делится на 2 и на 3.

Для начала заметим, что 17^2 равно 289, что кратно 3, так как 289 = 3*96+1.

Теперь рассмотрим остальные слагаемые. Заметим, что 14•11^n-3•5^n+1 можно записать в виде (14•11^n+1) - (3•5^n-1). Покажем, что оба выражения в скобках кратны 3 и 2 соответственно.

Для этого заметим, что 14•11^n+1 = 13•11^n+11^n+1. Первое слагаемое кратно 3, так как 13 = 3*4+1, а 11^n+1 делится на 2 при любом нечётном значении n (что можно проверить, разложив 11^n+1 на множители по формуле a^2-b^2 = (a+b)(a-b)). Таким образом, 14•11^n+1 кратно 6.

Аналогично, 3•5^n-1 = 3•(5^n-1) + 2. Первое слагаемое кратно 3, так как 5^n-1 делится на 4 при любом нечётном значении n (что можно проверить, разложив 5^n-1 на множители по формуле a^2-b^2 = (a+b)(a-b)). Второе слагаемое равно 2 при n=1 и равно 1 при n>1, то есть оно чётное. Таким образом, 3•5^n-1 кратно 6.

Итак, выражение 17^2+14•11^n-3•5^n+1 можно записать в виде кратной 3 суммы 289 + (14•11^n+1) - (3•5^n-1). Первое слагаемое кратно 3, а скобки второго и третьего слагаемых кратны 2 и 3 соответственно, поэтому всё выражение кратно 6, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доведення, що вираз 17^2 + 14 * 11^n - 3 * 5^n + 1 є кратним 6 при будь-якому натуральному значенні n, ми можемо розглянути вираз за модулем 6.

Розглянемо вираз за модулем 6:

17^2 + 14 * 11^n - 3 * 5^n + 1 (mod 6)

Розкладемо кожен доданок за модулем 6:

(17^2 (mod 6) + 14 * 11^n (mod 6) - 3 * 5^n (mod 6) + 1 (mod 6)) (mod 6)

Обчислимо значення кожного доданка за модулем 6:

(289 (mod 6) + 14 * 11^n (mod 6) - 3 * 5^n (mod 6) + 1 (mod 6)) (mod 6)

Спростимо кожен доданок:

(1 + 2 * 11^n (mod 6) - 3 * 5^n (mod 6) + 1) (mod 6)

Обчислимо значення 2 * 11^n (mod 6):

2 * 11^n (mod 6) = 2 * (11^n (mod 6)) (mod 6)

Знайдемо значення 11^n (mod 6):

11^n (mod 6) може мати лише 6 можливих значень: 1, 5, 1, 5, 1, 5, ...

Підставимо значення 11^n (mod 6) виразу 2 * 11^n (mod 6):

2 * 11^n (mod 6) = 2 * (1, 5, 1, 5, 1, 5, ...) (mod 6)

Отримаємо послідовність значень:

2, 10, 2, 10, 2, 10, ...

Обчислимо значення 3 * 5^n (mod 6):

3 * 5^n (mod 6) = 3 * (5^n (mod 6)) (mod 6)

Знайдемо значення 5^n (mod 6):

5^n (mod 6) може мати лише 6 можливих значень: 5, 1, 5, 1, 5, 1, ...

Підставимо значення 5^n (mod 6) виразу 3 * 5^n (mod 6):

3 * 5^n (mod 6) = 3 * (5, 1, 5, 1, 5, 1, ...) (mod 6)

Отримаємо послідовність значень:

15, 3, 15, 3, 15, 3, ...

Підставимо отримані значення в початковий вираз:

(1 + 2 * 11^n (mod