Question

При якому значенні x значення виразів: 2x+1, x+2, 8-x будуть послідовними членами геометричної прогресії. Знайти члени цієї прогресії

Answer 1

Ответ:

Для того, щоб значення виразів 2x + 1, x + 2 та 8 - x були послідовними членами геометричної прогресії, потрібно, щоб кожне наступне значення було добутком попереднього на певне число r. Тобто:

x + 2 = r(2x + 1)

8 - x = r(x + 2)

Далі ми можемо вирішити цю систему рівнянь методом заміни. З першого рівняння ми можемо виразити r через x:

r = (x + 2) / (2x + 1)

А потім підставити це значення в друге рівняння:

8 - x = (x + 2) / (2x + 1) * (x + 2)

Розв'язавши це рівняння, ми отримаємо два значення для x:

x = -1/2 або x = 7

Тому, при x = -1/2 або x = 7 значення 2x + 1, x + 2 та 8 - x будуть послідовними членами геометричної прогресії.

Для знаходження членів цієї прогресії, ми можемо підставити кожне значення x в формули для 2x + 1, x + 2 та 8 - x та визначити спільний знаменник за допомогою r = (x + 2) / (2x + 1) (за умови, що воно дорівнює числу r):

При x = -1/2:

2x + 1 = 0

x + 2 = 3/2

8 - x = 17/2

Отже, при x = -1/2 члени геометричної прогресії будуть 0, 3/2 та 17/2 зі спільним знаменником r = (x + 2) / (2x + 1) = 1/2.

При x = 7:

2x + 1 = 15

x + 2 = 9

8 - x = 1

Отже, при x = 7 члени геометричної прогресії будуть 15, 9 та 1 зі спільним знаменником r = (x + 2) / (2x + 1) = 3/15 = 1/5.

Объяснение:

Answer 2

Для того щоб значення виразів 2x + 1, x + 2 та 8 - x були послідовними членами геометричної прогресії, потрібно, щоб відношення між ними було постійним.

У геометричній прогресії кожен наступний член отримується множенням попереднього члена на певне число, яке називають знаменником прогресії.

Таким чином, ми можемо записати наступну рівність:

(x + 2) / (2x + 1) = (8 - x) / (x + 2)

Тепер розв'яжемо цю рівність:

(x + 2)^2 = (2x + 1)(8 - x)

Виконуючи необхідні обчислення, отримаємо:

x^2 + 4x + 4 = 16x - x^2 + 8 - 2x

Послідовно складаючи подібні доданки та переносячи все в одну сторону, ми отримаємо квадратне рівняння:

2x^2 + 11x - 12 = 0

Тепер ми можемо вирішити це рівняння, використовуючи квадратну формулу або факторизацію. Розв'язком мають бути значення x, для яких це рівняння має дійсні корені.