Question

Найти все значения параметра а , при которых функция f(x) = ax²- 2ax + 3 не имеет корней на отрезке [ -2 ; 1 ] // никак не могу получить правильный ответ...

Answer 1

$f(x)=ax^2-2ax+3 \\ \\ ax^2-2ax+3=0 \\ \frac{D}{4}=a^2-3a$

При D<0 уравнение не имеет решений, что удовлетворяет условию

$a^2-3a$

При D≥0 уравнение имеет корни

$x= \dfrac{a \pm \sqrt{a^2-3a}}{a}$

"Вытолкнем" их за пределы отрезка

$\left\{\begin{array}{I} \left[\begin{array}{I} \dfrac{a-\sqrt{a^2-3a}}{a}1 \end{array}} \\ \left[\begin{array}{I} \dfrac{a+\sqrt{a^2-3a}}{a}1 \end{array}} \end{array}} \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{array}{I} \left[\begin{array}{I} \dfrac{3a-\sqrt{a^2-3a}}{a}$

$\Leftrightarrow \ \left\{\begin{array}{I} \left[\begin{array}{I} a \in \oslash \\ a \in (- \infty; \ 0) \end{array}} \\ \left[\begin{array}{I} a \in \left (- \dfrac{3}{8}; \ 0 \right)\\ a \in (3; + \infty) \end{array}} \end{array}} \ \Leftrightarrow \ \boxed{\bf a \in \left (- \dfrac{3}{8}; \ 0 \right) }$

Также при a=0 имеем f(x)=0-0+3=3 ⇒ нет корней.

Ответ: a∈(-3/8; 3)

Answer 2

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 3

Для того чтобы у функции не было корней на отрезке [ -2 ; 1 ], ее график должен либо полностью находиться выше оси абсцисс, либо полностью находиться ниже оси абсцисс на этом отрезке. То есть, необходимо чтобы дискриминант квадратного трехчлена ax²- 2ax + 3 был отрицательным на всем отрезке [ -2 ; 1 ].

Дискриминант квадратного трехчлена равен D = b² - 4ac, где a, b, c - коэффициенты квадратного трехчлена. В данном случае имеем: a = a, b = -2a, c = 3.

Подставляем значения коэффициентов в формулу для дискриминанта:

D = (-2a)² - 4a*3 = 4a² - 12a

Дискриминант должен быть отрицательным на всем отрезке [ -2 ; 1 ]. Значит, неравенство D < 0 должно выполняться при всех x из этого отрезка:

4a² - 12a < 0

Делим неравенство на 4 и получаем:

a² - 3a < 0

Факторизуем левую часть неравенства:

a(a - 3) < 0

Получаем два интервала, на которых выполняется неравенство:

a < 0 и 0 < a < 3

Таким образом, значения параметра a должны принадлежать одному из интервалов: a < 0 или 0 < a < 3.