Question

Сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію. Обчислити його гіпотенузу, якщо площа трикутника дорівнює 96.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Позначимо сторони прямокутного трикутника через а, а+d та а+2d, де d - різниця арифметичної прогресії.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює √(катет^2 + катет^2), тобто √2катет^2, де катети - це його сторони.

Отже, ми можемо записати рівняння для площі трикутника:

1/2 * а * (а+d) = 96

або

а^2 + ad - 192 = 0

Розв'язавши це квадратне рівняння за допомогою формули дискримінанту, отримаємо:

d = 8 або d = -24

Оскільки сторони трикутника мають бути додатніми числами, ми відкидаємо рішення d = -24. Тому d = 8.

Тоді гіпотенуза дорівнює √(а^2 + (а+2d)^2) = √(a^2 + (a+16)^2).

Підставляючи a = 12 (розв'язок рівняння а^2 + ad - 192 = 0 при d = 8), ми отримуємо гіпотенузу:

√(12^2 + 28^2) = √(144 + 784) = √928 ≈ 30.463

Отже, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює близько 30.463.

Answer 2

Нехай сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію і мають вигляд:

a - d, a, a + d

де: - a - це другий член (довжина одного з катетів), - d - різниця арифметичної прогресії.

Площа прямокутного трикутника обчислюється за формулою:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a - d) \]

Задано, що площа трикутника дорівнює 96, тобто \( S = 96 \). Підставимо це значення у формулу:

\[ 96 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a - d) \]

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

\[ 192 = a^2 - \frac{1}{2} \cdot ad \]

Помножимо обидві сторони на 2, щоб позбутися дробового коефіцієнта:

\[ 384 = 2a^2 - ad \]

Так як сторони утворюють арифметичну прогресію, то маємо \( a - (a - d) = 2d \), звідки \( ad = 2d \cdot a \). Підставимо це в рівняння:

\[ 384 = 2a^2 - 2d \cdot a \]

Розкриємо дужки та приведемо подібні члени:

\[ 2a^2 - 2da - 384 = 0 \]

Тепер ми отримали квадратне рівняння, яке ми можемо розв'язати для \( a \). Використаємо квадратне рівняння у формі \( ax^2 + bx + c = 0 \), де \( a = 2 \), \( b = -2d \), і \( c = -384 \).

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ a = \frac{2d \pm \sqrt{(-2d)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-384)}}{2 \cdot 2} \]

\[ a = \frac{2d \pm \sqrt{4d^2 + 3072}}{4} \]

\[ a = \frac{d \pm \sqrt{d^2 + 768}}{2} \]

Тепер ми можемо знайти гіпотенузу \( c = a + d \):

\[ c = \frac{d \pm \sqrt{d^2 + 768}}{2} + d \]

\[ c = \frac{3d \pm \sqrt{d^2 + 768}}{2} \]

Отже, гіпотенуза трикутника може бути виражена як \(\frac{3d \pm \sqrt{d^2 + 768}}{2}\). Щоб знайти конкретне значення, необхідно знати значення \(d\).