Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО! Чотири числа утворюють геометричну прогресію. Якщо до них додати відповідно 2, 6, 9 і 10, тоді отримаємо чотири числа, які утворюють  арифметичну прогресію. Визнач числа, що утворюють геометричну прогресію.​

Answer 1

Ответ:

1; 2; 4; 8

Объяснение:

Геометрическая прогрессия это b, b*q, b*q^2, b*q^3.

Арифметическая прогрессия это a, a+d, a+2d, a+3d.

Система уравнений:

{ b+2 = a

{ b*q + 6 = a+d

{ b*q^2 + 9 = a+2d

{ b*q^3 + 10 = a+3d

Решаем эту систему подстановкой и получаем:

a=3; b=1; q=2; d=5.

4 числа, образующие геометрическую прогрессию:

1; 2; 4; 8

4 числа, образующие арифметическую прогрессию:

3 = 1+2; 8 = 2+6; 13 = 4+9; 18 = 8+10

Answer 2

Давайте позначимо чотири числа утворюючи геометричну прогресію як a, ar, ar^2, ar^3, де 'a' - перший член, 'r' - знаменник (спільний множник). За умовою задачі, ми знаємо, що при додаванні відповідних чисел 2, 6, 9 і 10 до кожного з цих чисел ми отримаємо арифметичну прогресію.

Таким чином, ми можемо записати арифметичну прогресію як: a + 2, ar + 6, ar^2 + 9, ar^3 + 10

Тепер, ми можемо знайти значення 'a' і 'r'. Для цього рівняння арифметичної прогресії повинні задовольняти умовам геометричної прогресії. Отже, ми маємо дві рівняння:

ar + 6 - (a + 2) = ar^2 + 9 - (ar + 6) ar^2 + 9 - (ar + 6) = ar^3 + 10 - (ar^2 + 9)

Розв'яжемо ці рівняння:

1. ar + 6 - a - 2 = ar^2 + 9 - ar - 6 ar - a + 4 = ar^2 - ar + 3

2. ar^2 + 9 - ar - 6 = ar^3 + 10 - ar^2 - 9 ar^2 - ar - 3 = ar^3 - ar^2 + 1

Тепер зробимо заміну змінних, щоб спростити розв'язання: Позначимо ar як x:

1. x + 4 = x^2 + 3
2. x^2 - x - 3 = x^3 - x^2 + 1

Розв'яжемо перше рівняння: x^2 - x - 3 - (x + 4) = 0 x^2 - x - 3 - x - 4 = 0 x^2 - 2x - 7 = 0

Застосуємо квадратне рівняння: x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 1 * (-7))) / (2 * 1) x = (2 ± √(4 + 28)) / 2 x = (2 ± √32) / 2 x = (2 ± 4√2) / 2 x = 1 ± 2√2

Тепер, відновимо значення 'ar': ar = x = 1 ± 2√2

Отже, чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, є: a, ar, ar^2, ar^3

Підставимо значення 'ar' у вираз: a, 1 ± 2√2, (1 ± 2√2)^2, (1 ± 2√2)^3

Зважаючи на обмеження, що це числа повинні бути цілочисельними, можемо обрати два варіанти значень 'ar':

1. Якщо ar = 1 + 2√2: a, 1 + 2√2, (1 + 2√2)^2, (1 + 2√2)^3 a, 1 + 2√2, 1 + 4√2 + 8, 1 + 6√2 + 12√2 + 24 a, 1 + 2√2, 9 + 5√2, 25 + 17√2

2. Якщо ar = 1 - 2√2: a, 1 - 2√2, (1 - 2√2)^2, (1 - 2√2)^3 a, 1 - 2√2, 1 - 4√2 + 8, 1 - 6√2 + 12√2 - 24 a, 1 - 2√2, 9 - 5√2, 25 - 17√2

Отже, два можливих набори чотирьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, будуть:

1. a, 1 + 2√2, 9 + 5√2, 25 + 17√2
2. a, 1 - 2√2, 9 - 5√2, 25 - 17√2