Question

Задано уравнение кривой второго порядка. 5х^2+4у^2-20=0 Выполните следующие действия: а) определите по уравнению вид кривой б) в случае эллипса, найдите его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, составьте уравнение дисектрис в) в случае гиперболы определите его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, составьте уравнение дисектрис и асимптот г) в случае параболы, найдите значение параметра, координаты фокуса, составьте уравнение дисектрисы д) выполните чертеж кривой с представлением фокусов, дисектрис, асимптот (при наличии)

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5} =1$ - уравнение эллипса;

Полуоси a = 2, b = √5;

Координаты фокусов F₁(0; 1); F₂(0; -1);

Уравнения директрис:

$\displaystyle d_1:\;\;\;x= 5;\;\;\;\;\;d_2:\;\;\;x= - 5$

Объяснение:

Задано уравнение кривой второго порядка.

5х²+4у²-20=0

Выполните следующие действия:

а) определите по уравнению вид кривой

б) в случае эллипса, найдите его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, составьте уравнение директрис

д) выполните чертеж кривой с представлением фокусов, директрис.

Дано уравнение кривой второго порядка:

5х²+4у²-20=0

Перенесем (-20) в правую часть и разделим обе части уравнения на 20:

$\displaystyle \frac{5x^2}{20}+\frac{4y^2}{20} = \frac{20}{20}$

Каноническое уравнение эллипса:

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1$

⇒ Получили уравнение эллипса:

$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5} =1$

• Эллипсом называется множество точек плоскости для которых сумма расстояний от двух данных точек плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть положительная постоянная величина, равная большой оси.

1. Полуоси.

В данном каноническом уравнении эллипса

а² < b²

⇒ малая полуось - а; большая полуось - b.

a = 2, b = √5

⇒ Фокусы данного эллипса лежат на оси Оу.

2. Фокусное расстояние F₁F₂ = 2c, где

$c=\sqrt{b^2-a^2} =\sqrt{5-4}=1$

⇒ координаты фокусов F₁(0; 1); F₂(0; -1)

3. Эксцентриситет

• Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большой полуоси эллипса.

$\displaystyle e=\frac{F_1F2}{B_1B_2}=\frac{2c}{2b}=\frac{c}{b }\\ \\ e=\frac{1}{\sqrt{5} } =0,45$

4.Уравнения директрис.

• Директрисы эллипса - прямые d₁ и d₂ перпендикулярные к большой оси - эллипса.

• Отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно є.

⇒ уравнения директрис:

$\displaystyle x=\pm\frac{b}{e} \\\\d_1:\;\;\;x=\frac{\sqrt{5} }{0,45}\approx 5\\ \\d_2:\;\;\;x=-\frac{\sqrt{5} }{0,45}\approx - 5$

#SPJ1

Answer 2

Дано уравнение кривой второго порядка:

\[5x^2 + 4y^2 - 20 = 0\]

а) Определение вида кривой:

Это уравнение представляет собой уравнение эллипса, так как коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) положительны и равны.

б) В случае эллипса:

1. Найдем полуоси: Уравнение эллипса в общем виде: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), где \(a\) и \(b\) - полуоси. Сравнивая с данным уравнением, получаем \(a^2 = 4\) и \(b^2 = 5\), следовательно, \(a = 2\) и \(b = \sqrt{5}\).

2. Найдем координаты фокусов: Фокусы эллипса находятся по формуле \((\pm c, 0)\), где \(c\) - фокусное расстояние. Для эллипса \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\). В нашем случае, \(c = \sqrt{4 - 5} = i\sqrt{1}\) (вещественная часть равна нулю, мнимая часть равна 1). Координаты фокусов: \((2i, 0)\) и \((-2i, 0)\).

3. Найдем эксцентриситет: Эксцентриситет \(e\) связан с полуосями следующим образом: \(e = \frac{c}{a}\). В нашем случае, \(e = \frac{i}{2}\).

4. Уравнение директрис: Директрисы эллипса имеют уравнение \(\frac{x^2}{a^2 - b^2} + \frac{y^2}{b^2 - a^2} = 1\). Подставим значения и получим \(\frac{x^2}{-1} + \frac{y^2}{1} = 1\), что эквивалентно \(x^2 - y^2 = 1\).

в) В случае гиперболы:

Учитывая, что коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) положительны, но разные, можно сказать, что уравнение задает гиперболу.

1. Найдем полуоси: Уравнение гиперболы в общем виде: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\). Сравнивая с данным уравнением, получаем \(a^2 = 4\) и \(b^2 = 5\), следовательно, \(a = 2\) и \(b = \sqrt{5}\).

2. Найдем координаты фокусов: Фокусы гиперболы находятся по формуле \((\pm c, 0)\), где \(c\) - фокусное расстояние. Для гиперболы \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). В нашем случае, \(c = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3\). Координаты фокусов: \((3, 0)\) и \((-3, 0)\).

3. Найдем эксцентриситет: Эксцентриситет гиперболы \(e\) связан с полуосями следующим образом: \(e = \frac{c}{a}\). В нашем случае, \(e = \frac{3}{2}\).

4. Уравнение директрис: Директрисы гиперболы имеют уравнение \(\frac{x^2}{a^2 + b^2} - \frac{y^2}{b^2 - a^2} = 1\). Подставим значения и получим \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{1} = 1\), что эквивалентно \(x^2 - 9y^2 = 9\).

г) В случае параболы:

Учитывая, что коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) одинаковы и положительны, уравнение задает параболу.

1. Найдем значение параметра: Уравнение параболы имеет вид \(\frac{x^2}{4p} - \frac{y^2}{4p} = 1\), где \(p\) - фокусное расстояние. Сравнивая с данным уравнением, получаем \(4p = 5\), откуда \(p = \frac{5}{4}\).

2. Найдем координаты фокуса: Фокус параболы находится в точке \((p, 0)\), где \(p = \frac{5}{4}\).

3. Уравнение директрисы: Директриса параболы имеет уравнение \(x = -p\), что в данном случае эквивалентно \(x = -\frac{5}{4}\).

д) Чертеж кривой:

Чтобы выполнить чертеж, вам нужно построить эллипс, гиперболу или параболу в соответствии с найденными значениями полуосей, фокусов, директрис и других характеристик. Если у вас есть дополнительные данные, например, значения параметра для параболы или угловые