Question

Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и постойте ее. Укажите координаты вершин, фокусов. Напишите уравнение . директрисы и асимптот, если они есть. Вычислите эксцентриситет кривой. х^2-4у^2+6х+8у+21=0

Answer 1

X²-4y²+6x+8y+21=0
выделим полные квадраты
x²+6x+9-4y²+8x-4+16=0⇒(x+3)²-4(y-1)²=-16⇒(y-1)²/2²-(x+3)²/4²=1
это каноническое уравнение гиперболы, повернутой на 90° и смещенной по оси х на -3 единицы и по оси у на 1 единицу
координаты вершин: х=-3; у-1=2 и  у-1=-2⇒у=3 и у=-1⇒(-3;3), (-3;-1)
координаты фокусов: х=-3; у-1=√(16+4)=√20=2√5 и у-1=-2√5⇒у=2√5+1≈5,472 и у=-2√5+1≈-3,472⇒(-3;5,472), (-3;-3,472)
эксцентриситет ε=2√5/2=√5≈2,236
уравнения директрис: у-1=2/√5≈0,894 и  у-1≈-0,894⇒у=1,894 и  у=0,106
уравнения асимптот: х+3=4(у-1)/2=2(у-1)=2у-2 и  х+3=-2у+2⇒2у=х+5 и -2у=х+1⇒у=х/2+5/2 и у=-х/2-1/2

Answer 2

Данное уравнение кривой второго порядка: x^2 - 4y^2 + 6x + 8y + 21 = 0.

Чтобы привести уравнение каноническому виду, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сгруппируем переменные x и y: (x^2 + 6x) - 4(y^2 - 2y) + 21 = 0.

2. Дополним квадраты переменных: (x^2 + 6x + 9) - 4(y^2 - 2y + 1) + 21 = 9 - 4.

3. Перепишем уравнение: (x + 3)^2 - 4(y - 1)^2 + 30 = 0.

Теперь уравнение приняло канонический вид: (x + 3)^2 / 30 - (y - 1)^2 / (30/4) = 1.

Из этого уравнения можно найти координаты вершин, фокусов, директрисы и асимптот.

Координаты вершин: Вершины кривой соответствуют точкам, где ось x пересекает кривую. В данном случае, вершины находятся на расстоянии sqrt(30) от центра (x = -3, y = 1). Таким образом, координаты вершин: (-3 + sqrt(30), 1) и (-3 - sqrt(30), 1).

Координаты фокусов: Фокусы кривой находятся на оси x, на расстоянии sqrt(a^2 + b^2) от центра, где a и b - полуоси эллипса. В данном случае, a = sqrt(30) и b = sqrt(30/4). Таким образом, координаты фокусов: (-3 + sqrt(30), 1) и (-3 - sqrt(30), 1).

Уравнение директрисы: Директрисы кривой определяются уравнением x = h ± a/e, где h - координата центра, a - полуось эллипса, e - эксцентриситет. В данном случае, h = -3, a = sqrt(30) и e = sqrt(30/4) / sqrt(30). Таким образом, уравнение директрисы: x = -3 ± sqrt(30) / (sqrt(30/4) / sqrt(30)).

Уравнение асимптот: Для данного уравнения кривой второго порядка нет асимптот.

Эксцентриситет: Эксцентриситет можно вычислить по формуле e = sqrt(1 + b^2 / a^2), где a и b - полуоси эллипса. В данном случае, a = sqrt(30) и b = sqrt(30/4). Таким образом, эксцентриситет: e = sqrt(1 + (sqrt(30/4) / sqrt(30))^2).