Question

4. Построить кривую, заданную уравнением. Найти: а) полуоси (для эллипса и гиперболы); б) координаты фокусов; в) эксцентриситет (для эллипса и гиперболы); г) уравнения директрис. 16x( в квадрате) - 9y (в квадрате) - 64х - 18y+199=0

Answer 1

Решение дано в приложении.

Answer 2

Для начала, давайте перепишем уравнение, чтобы выразить его в стандартной форме для эллипса или гиперболы. Уравнение, которое вы предоставили:

16x^2 - 9y^2 - 64x - 18y + 199 = 0

Чтобы привести это уравнение к стандартной форме, мы должны завершить квадраты для переменных x и y. Для этого разделим уравнение на -1, чтобы сделать коэффициенты перед квадратами положительными:

-16x^2 + 9y^2 + 64x + 18y - 199 = 0

Теперь давайте завершим квадраты для переменных x и y, дополнив соответствующие слагаемые:

-16(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 199

Теперь добавим и вычтем константы внутри скобок, чтобы завершить квадраты:

-16(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9(y^2 + 2y + 1 - 1) = 199

-16((x - 2)^2 - 4) + 9((y + 1)^2 - 1) = 199

-16(x - 2)^2 + 64 + 9(y + 1)^2 - 9 = 199

-16(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 144

Теперь давайте поделим обе стороны уравнения на 144:

-16(x - 2)^2/144 + 9(y + 1)^2/144 = 1

-(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/16 = 1

Теперь у нас есть уравнение эллипса в стандартной форме:

((x - 2)^2/3^2) - ((y + 1)^2/4^2) = 1

Теперь мы можем ответить на ваши вопросы:

а) Полуоси эллипса: a = 4 и b = 3 (полуось по x больше, полуось по y меньше).

б) Фокусы эллипса: фокусы находятся на главной оси эллипса, и координаты фокусов можно вычислить по формуле c = √(a^2 - b^2), где c - расстояние от центра эллипса до фокуса. В данном случае c = √(4^2 - 3^2) = √7. Фокусы будут смещены от центра эллипса на эту величину вдоль главной оси.

Фокусы: (2 + √7, -1) и (2 - √7, -1).

в) Эксцентриситет эллипса: эксцентриситет вычисляется как e = c / a, где c - расстояние от центра до фокуса, а - полуось эллипса. В данном случае, e = √7 / 4.

г) Уравнения директрис: Для эллипса уравнения директрис имеют вид x = h ± a/e, где h - горизонтальное смещение центра эллипса, a - полуось, e - эксцентриситет. В данном случае, уравнения директрис: x = 2 ± 4/√7.

Обратите внимание, что уравнение, которое вы предоставили, описывает эллипс, а не гиперболу.