Question

Даю 40 балів Знайти похідні функцій: y = (5x^2 − x)^4 y = √3cosx + √x y = 3^x2−1 ∙ tg x/3

Answer 1

Ответ:

1) $y'=( (5x^{2} -x)^{4} )'= (40x-4) \cdot (5x^{2} -x)^{3};$

2) $y'= (\sqrt{3} cosx+\sqrt{x} )'= -\sqrt{3}sinx + \dfrac{1}{2\sqrt{x} } ;$

3) $y'=\left(3^{x^{2} -1} \cdot tg \dfrac{x}{3}\right)'=2x\cdot 3^{x^{2} -1}\cdot ln3\cdot tg \dfrac{x}{3}+3^{x^{2} -2}\cdot\dfrac{1}{cos^{2}\dfrac{x}{3} }$

Объяснение:

Найти производную функции:

$y= (5x^{2} -x)^{4} ;$

$y= \sqrt{3} cosx+\sqrt{x} ;$

$y=3^{x^{2} -1} \cdot tg \dfrac{x}{3}$

1) Найдем производную первой функции. Для этого воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции и следующей формулой

$(x^{n} )'=nx^{n-1}$

и правилами

$(u+v)'=u'+v' \\(Cu)'=Cu'$

u и  v - дифференцируемые функции

C - постоянная

$y'=( (5x^{2} -x)^{4} )'= 4(5x^{2} -x)^{3}\cdot (5x^{2} -x)' =4(5x^{2} -x)^{3}\cdot(10x-1)=(40x-4) \cdot (5x^{2} -x)^{3}.$

2) При нахождении производной воспользуемся еще формулами:

$(cosx)'=-sinx ;\\(\sqrt{x} )= \dfrac{1}{2\sqrt{x} }$

$y'= (\sqrt{3} cosx+\sqrt{x} )'= -\sqrt{3}sinx + \dfrac{1}{2\sqrt{x} } .$

3) Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции и

$(a^{x} )'=a^{x} \cdot lna;\\\\(tgx)'=\dfrac{1}{cos^{2} x}$

И правилом нахождения производное произведения

$(uv)'=u'v+uv'$

u и  v - дифференцируемые функции.

$y'=\left(3^{x^{2} -1} \cdot tg \dfrac{x}{3}\right)'=(3^{x^{2} -1} )'\cdot tg \dfrac{x}{3}+3^{x^{2} -1} \cdot \left( tg \dfrac{x}{3}\right)'= \\\\=3^{x^{2} -1}\cdot ln3\cdot(x^{2} -1)'\cdot tg \dfrac{x}{3}+3^{x^{2} -1}\cdot\dfrac{1}{cos^{2}\dfrac{x}{3} } \cdot\left(\dfrac{x}{3}\right )'=\\\\=3^{x^{2} -1}\cdot ln3\cdot2x\cdot tg \dfrac{x}{3}+3^{x^{2} -1}\cdot\dfrac{1}{cos^{2}\dfrac{x}{3} } \cdot\left(\dfrac{x}{3}\right )=$

$=2x\cdot 3^{x^{2} -1}\cdot ln3\cdot tg \dfrac{x}{3}+3^{x^{2} -1}\cdot\dfrac{1}{cos^{2}\dfrac{x}{3} } \cdot3^{-1} =2x\cdot 3^{x^{2} -1}\cdot ln3\cdot tg \dfrac{x}{3}+3^{x^{2} -2}\cdot\dfrac{1}{cos^{2}\dfrac{x}{3} }$

#SPJ1

Answer 2

Звісно, давайте знайдемо похідні для кожної з наведених функцій. Для зручності, я використаю позначення \(f(x)\) для кожної функції.

1. \(y = (5x^2 - x)^4\)

Для знаходження похідної використовуємо ланцюжкове правило (chain rule):

\[f'(x) = 4(5x^2 - x)^3 \cdot (10x - 1)\]

2. \(y = \sqrt{3}\cos(x)\)

Похідна від косинуса \(\cos(x)\) є \(-\sin(x)\), отже:

\[f'(x) = -\sqrt{3}\sin(x)\]

3. \(y = \sqrt{x}\)

Похідна від \(\sqrt{x}\) є \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\):

\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

4. \(y = 3^{x^2 - 1} \cdot \tan\left(\frac{x}{3}\right)\)

Використовуємо правила експоненти, ланцюжкове правило та похідну тангенса:

\[f'(x) = 3^{x^2 - 1} \cdot 2x \cdot \tan\left(\frac{x}{3}\right) + 3^{x^2 - 1} \cdot \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)} \cdot \frac{1}{3}\]

Завершивши обчислення для кожної з функцій, ви отримаєте вирази для їхніх похідних. Будь ласка, врахуйте, що якщо є конкретні значення \(x\), ви можете підставити їх у вираз для отримання конкретних числових значень.