Question

Найдите наименьшее значение функции y=-24cosx-12√3×x+4√3π+3 на отрезке [0;π/2]​

Answer 1

$y = - 24 \cos(x) - 12 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \pi + 3$

$y' = 24 \sin(x) - 12 \sqrt{3}$

$y' = 0$

$24 \sin(x) - 12 \sqrt{3} = 0$

$\sin(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in ℤ$

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in ℤ$

Продолжение не прикреплённом изображении.

Получим, что точка минимума функции на отрезке [0; π/2] — π/3.

$y( \frac{\pi}{3} ) = - 24 \cos( \frac{\pi}{3} ) - 12 \sqrt{3} \frac{\pi}{3} + 4 \sqrt{3} \pi + 3 = - 24 \times \frac{1}{2} -4 \sqrt{3} \pi + 4 \sqrt{3} \pi + 3 = - 12 + 3 = - 9$

Ответ: –9.

Answer 2

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции y=-24cosx-12√3×x+4√3π+3 на отрезке [0;π/2], нужно выполнить следующие шаги:

- Найти производную функции y'=-24sinx-12√3 и приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки функции на отрезке. - Решить уравнение y'=0 и получить x=arcsin(√3/4)≈0.8481 (округлено до 4 знаков после запятой). - Проверить, что x=arcsin(√3/4) принадлежит отрезку [0;π/2], так как это условие задачи. - Подставить x=arcsin(√3/4) в исходную функцию y и получить y≈-2.5981 (округлено до 4 знаков после запятой). - Подставить граничные точки отрезка [0;π/2] в исходную функцию y и получить y(0)=4√3π+3≈25.9810 и y(π/2)=-12√3π/2+3≈-32.1776. - Сравнить значения функции y в критической и граничных точках и выбрать наименьшее из них. - Ответить, что наименьшее значение функции y=-24cosx-12√3×x+4√3π+3 на отрезке [0;π/2] равно -32.1776 и достигается при x=π/2.

Источники информации: [онлайн калькулятор](https://allcalc.ru/node/1817), [учебный сайт](https://uchi.ru/otvety/questions/naydite-naimenshee-znachenie-funktsii-y-4cosx-27x-p-3-na-otrezke-2p-3-0).