Question

У прямокутному трикутнику один із катетів на 3 см менший від гіпотенузи, а інший на 6 см менший від гіпотенузи. Знайти гіпотенузу допоможіть будь ласка​

Answer 1

Відповідь:

15 см

Пояснення:

сторони
x - гипотенуза
x-3 - катет
x-6 - катет
(x-3)²+(x-6)²=x²

(x²-6x+9)+(x²-12x+36)=x²

x²-18x+45=0 - квадрате рівняння
корені:

x₁=15
x₂=3
перевірка
x₂=3 - не може бути гіпотенузою, бо тоді катети мають дорівнювати х-3=0 і х-6=-3

Answer 2

Задача полягає в знаходженні гіпотенузи прямокутного трикутника на основі відомих розмірів його катетів.

Нехай \(a\) і \(b\) - довжини катетів, а \(c\) - довжина гіпотенузи.

За умовою задачі маємо:

1. Один з катетів на 3 см менший від гіпотенузи: \(a = c - 3\). 2. Інший катет на 6 см менший від гіпотенузи: \(b = c - 6\).

Тепер можемо скористатися теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, де квадрат гіпотенузи \(c^2\) дорівнює сумі квадратів катетів \(a^2\) і \(b^2\):

\[c^2 = a^2 + b^2.\]

Підставимо значення катетів:

\[(c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2.\]

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

\[c^2 - 6c + 9 + c^2 - 12c + 36 = c^2.\]

Об'єднаємо подібні члени та скоротимо:

\[2c^2 - 18c + 45 = c^2.\]

Віднімемо \(c^2\) з обох боків рівняння:

\[c^2 - 18c + 45 = 0.\]

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою дискримінанта (\(\Delta\)):

\[\Delta = b^2 - 4ac.\]

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = -18\), \(c = 45\):

\[\Delta = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144.\]

Так як дискримінант додатний, у нас є два корені рівняння:

\[c_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.\]

Підставимо значення:

\[c_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2}.\]

Отримаємо два значення гіпотенузи:

\[c_1 = \frac{18 + 12}{2} = 15,\]

\[c_2 = \frac{18 - 12}{2} = 3.\]

Таким чином, ми маємо два можливих значення для гіпотенузи: \(c = 15\) або \(c = 3\). Однак, враховуючи відомості про катети (один з яких менший за гіпотенузу), правильним відповіддю буде \(c = 15\) см.