Question

Найдите значения выражения. sin (п/6+a) + sin (п/6-a)

Answer 1

Ответ:

sinx+siny=2.sin(x+y)/2.cos(x-y)/2

sin(pí/6+a)+sin(pí/6-a)=2.sin(pí/3).cos(2a)=

=2.(V3/2).(cosˇ2a-sinˇ2a)=

=V3(1-sinˇ2a -sinˇ2a)=V3(1-2.sinˇ2a)=

=V3(1-2.(1/8)ˇ2)=V3(1-2.1/64)=V3(1-1/32)=V3.(31/32)

Answer 2

Для нахождения значения выражения \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) \), воспользуемся формулой сложения синусов:

\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta. \]

Применим эту формулу к выражению \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) \):

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cdot \cos a + \cos\frac{\pi}{6} \cdot \sin a. \]

Аналогично, применим формулу к выражению \( \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) \):

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cdot \cos(-a) + \cos\frac{\pi}{6} \cdot \sin(-a). \]

Учитывая, что \( \cos(-a) = \cos a \) и \( \sin(-a) = -\sin a \), получаем:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cdot \cos a - \cos\frac{\pi}{6} \cdot \sin a. \]

Теперь сложим оба выражения:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \left(\sin\frac{\pi}{6} \cdot \cos a + \cos\frac{\pi}{6} \cdot \sin a\right) + \left(\sin\frac{\pi}{6} \cdot \cos a - \cos\frac{\pi}{6} \cdot \sin a\right). \]

Сгруппируем по типу слагаемых:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = 2 \cdot \sin\frac{\pi}{6} \cdot \cos a. \]

Теперь подставим значение \( \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) и упростим:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos a = \cos a. \]

Таким образом, значение выражения \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) \) равно \( \cos a \).