Question

Контрольная работа Вариант 2 №1. Вычислите sin⁡a,tg a,cos⁡2a,sin⁡ a/2 , если cos⁡a=-2/5, π №2.Найдите значение выражения 1) cos⁡225 2)sin⁡ 25π/ 3)tg 22π/3 4)2cos⁡ 15°sin⁡ 15° №3Докажите тождество 1)sin^2⁡a+(1+cos⁡2a)/2=1 №4. Докажите тождество: 1) (cos⁡5a+cos⁡a)/(-2 sin⁡3a )=-sin⁡2a №5. Упростите 1)2 sin⁡(π+a)sin⁡(π/2+a)-sin⁡2a 2)cos⁡(α+β)-sin⁡(5π/2-a)∙cos⁡(-β) 3)((1+cos^2⁡a)/sin⁡a -sin⁡a ) 1/2 tg a

Answer 1

Ответ:

первый удачи................

Answer 2

Давайте по порядку решим каждое уравнение:

1. Вычисление sin⁡a, tg a, cos⁡2a, sin⁡a/2, если cos⁡a=-2/5, π

Первое уравнение cos⁡a = -2/5. Для нахождения sin⁡a используем тригонометрическую тождество sin^2⁡a + cos^2⁡a = 1:

sin^2⁡a + (-2/5)^2 = 1

sin^2⁡a + 4/25 = 1

sin^2⁡a = 1 - 4/25

sin^2⁡a = 21/25

sin⁡a = ±√(21/25) = ±√21/5

Так как угол a находится во II и III квадрантах (из-за cos⁡a < 0), sin⁡a < 0. Поэтому sin⁡a = -√21/5.

Далее, чтобы найти tg a, используем отношение тангенса к синусу и косинусу:

tg a = sin⁡a / cos⁡a = (-√21/5) / (-2/5) = √21 / 2

Чтобы найти cos⁡2a, используем формулу двойного угла для косинуса:

cos⁡2a = 2 * cos^2⁡a - 1

cos⁡2a = 2 * (-2/5)^2 - 1

cos⁡2a = 2 * 4/25 - 1

cos⁡2a = 8/25 - 1

cos⁡2a = -17/25

Далее, чтобы найти sin⁡(a/2), используем формулу половинного угла для синуса:

sin⁡(a/2) = ±√((1 - cos⁡a) / 2)

sin⁡(a/2) = ±√((1 - (-2/5)) / 2)

sin⁡(a/2) = ±√((1 + 2/5) / 2)

sin⁡(a/2) = ±√((7/5) / 2)

sin⁡(a/2) = ±√(7/10)

Так как угол a находится во II и III квадрантах (из-за cos⁡a < 0), sin⁡(a/2) < 0. Поэтому sin⁡(a/2) = -√(7/10).

2. Нахождение значений выражений:

1. cos⁡225:

cos⁡225 = cos⁡(180° + 45°)

cos⁡225 = cos⁡180° * cos⁡45° - sin⁡180° * sin⁡45°

cos⁡225 = (-1) * √2/2 - 0 * √2/2

cos⁡225 = -√2/2

2. sin⁡25π:

sin⁡25π = sin⁡(6π + π)

sin⁡25π = sin⁡6π * cos⁡π + cos⁡6π * sin⁡π

sin⁡25π = 0 * (-1) + 1 * 0

sin⁡25π = 0

3. tg⁡22π/3:

tg⁡22π/3 = tg⁡(6π + 4π/3)

tg⁡22π/3 = tg⁡4π/3

tg⁡4π/3 = tg⁡(4π/3 - π)

tg⁡4π/3 = tg⁡(-π/3)

tg⁡(-π/3) = -√3

4. 2cos⁡15°sin⁡15°:

Используем формулу для двойного угла синуса: sin⁡2θ = 2sin⁡θcos⁡θ

2cos⁡15°sin⁡15° = sin⁡30°

2cos⁡15°sin⁡15° = 1/2

3. Доказательство тождества:

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) / 2 = 1

Докажем по отдельности:

a) sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a):

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) = sin^2⁡a + 1 + cos⁡2a

Используем формулу косинуса двойного угла: cos⁡2a = 2cos^2⁡a - 1

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) = sin^2⁡a + 1 + 2cos^2⁡a - 1

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) = 2cos^2⁡a + sin^2⁡a

Используем тригонометрическое тождество sin^2⁡a + cos^2⁡a = 1:

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) = 2cos^2⁡a + (1 - cos^2⁡a)

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) = 2cos^2⁡a + 1 - cos^2⁡a

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) = cos^2⁡a + 1

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) = 1 + cos^2⁡a

b) Теперь соединим результаты:

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) / 2 = (1 + cos^2⁡a) / 2

Мы знаем, что cos^2⁡a + sin^2⁡a = 1, поэтому:

sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a) / 2 = (1 + cos^2⁡a) / 2 = 1 / 2

4. Доказательство тождества:

(cos⁡5a + cos⁡a) / (-2sin