Question

Помогите срочно даю 25 баллов!!!!!! 1)Дано: tg alpha=4/3, 0<alpha<П/2. Найдите синус альфа.2) Докажите тождество 1+cos2alpha=2cos^2alpha​​

Answer 1

1) Дано, что tg(alpha) = 4/3, где 0 < alpha < П/2. Мы хотим найти синус альфа.

Используя определение тангенса как отношение противолежащего катета к прилежащему катету, мы можем представить tg(alpha) следующим образом:

tg(alpha) = sin(alpha) / cos (alpha).

Так как tg(alpha) = 4/3, мы можем записать:

4/3 = sin(alpha) / cos(alpha).

Умножим обе части уравнения на cos(alpha):

4/3 * cos(alpha) = sin(alpha).

Теперь мы можем найти sin(alpha) с помощью тригонометрического тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим sin(alpha) в это тождество:

(4/3 * cos(alpha))^2 + cos^2(alpha) = 1,

16/9 * cos^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1.

Умножим обе части уравнения на 9:

16 * cos^2(alpha) + 9 * cos^2(alpha) = 9.

Складываем подобные члены:

25 * cos^2(alpha) = 9,

cos^2(alpha) = 9/25.

Теперь находим cos(alpha):

cos(alpha) = sqrt(9/25) = 3/5.

Вспоминая исходное уравнение sin(alpha) / cos(alpha) = 4/3, мы можем подставить найденное значение cos(alpha) и получить:

sin(alpha) / (3/5) = 4/3,

sin(alpha) = 4/3 * (3/5) = 4/5.

Таким образом, синус альфа равен 4/5.

2) Нам нужно доказать тождество 1 + cos^2(2alpha) = 2cos^2(alpha).

Используем формулу двойного угла для косинуса: cos^2(2alpha) = 1/2 * (1 + cos(4alpha)).

Теперь мы можем переписать тождество, заменив cos^2(2alpha) и cos^2(alpha):

1 + 1/2 * (1 + cos(4alpha)) = 2cos^2(alpha).

Упрощаем выражение:

1 + 1/2 + 1/2 * cos(4alpha) = 2cos^2(alpha),

3/2 + 1/2 * cos(4alpha) = 2cos^2(alpha).

Выражение 1/2 * cos(4alpha) может быть записано с помощью формулы:

cos(4alpha) = 2cos^2(2alpha) - 1.

Подставляем это значения в уравнение:

3/2 + 1/2 * (2cos^2(2alpha) - 1) = 2cos^2(alpha).

3/2 + cos^2(2alpha) - 1/2 = 2cos^2(alpha).

Перегруппируем и упростим:

cos^2(2alpha) + 1/2 = 2cos^2(alpha).

Помним, что cos^2(2alpha) = 1/2 * (1 + cos(4alpha)). Подставим это значение:

1/2 * (1 + cos(4alpha)) + 1/2 = 2cos^2(alpha),

1/2 + 1/2 * cos(4alpha) + 1/2 = 2cos^2(alpha),

3/2 + 1/2 * cos(4alpha) = 2cos^2(alpha).

Таким образом, мы показали, что 1 + cos^2(2alpha) = 2cos^2(alpha).