Question

Даю 20 балів 7. Розв'яжіть рівняння: (x - 2)/(x ^ 2 - x) + 1/(x ^ 2 + x) = 2/(x ^ 2 - 1)

Answer 1

Щоб розв'язати дане рівняння, спробуємо спростити його спочатку.

Вираз, який ми маємо: (x - 2)/(x^2 + 2x) + 1/(x^2 + x) = 2/(x^2 + 2 - 1)

Перш ніж продовжити, зверніть увагу, що вирази x^2 + 2x і x^2 + x в чисельнику мають спільний множник x, тому ми можемо застосувати спільний знаменник і спростити ці дроби.

Тепер, зробимо це:

(x - 2)/(x^2 + 2x) + 1/(x^2 + x) = 2/(x^2 + 1)

Для зручності, перепишемо рівняння з однаковими знаменниками:

(x - 2)/(x^2 + 2x) + (x^2 + x)/(x^2 + x) = 2/(x^2 + 1)

Тепер, додамо чисельники дробів з однаковими знаменниками:

(x - 2 + x^2 + x)/(x^2 + 2x) = 2/(x^2 + 1)

Скористаємося алгебраїчними властивостями додавання, щоб об'єднати чисельники:

(x^2 + 2x - 2 + x)/(x^2 + 2x) = 2/(x^2 + 1)

Тепер, спростимо чисельник:

(x^2 + 3x - 2)/(x^2 + 2x) = 2/(x^2 + 1)

Далі, помножимо обидві сторони рівняння на (x^2 + 2x), щоб позбутися від знаменників:

(x^2 + 3x - 2)/(x^2 + 1) * (x^2 + 2x) = 2/(x^2 + 1) * (x^2 + 2x)

Проведемо множення:

(x^2 + 3x - 2)*(x^2 + 2x) = 2*(x^2 + 2x)

Розкриємо дужки та спростимо вираз:

x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 4x - 4 = 2x^2 + 4x

Подивимося, як можемо спростити даний рівняння.

x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 4x - 4 - 2x^2 - 4x = 0

x^4 + 5x^3 + 2x^2 - 8x - 4 = 0

Це квадратне рівняння четвертого ступеня, яке можна спробувати розв'язати аналітично, але це дуже складно. Можливо, найкращим рішенням буде використання чисельних методів, таких як метод Ньютона або метод ітерацій.

У цьому конкретному випадку, я надаю приклади коду Python для використання методу Ньютона для чисельного розв'язання рівнянь.

import numpy as np

def f(x):
    return x4 + 5*x3 + 2*x**2 - 8*x - 4

def f_prime(x):
    return 4*x3 + 15*x2 + 4*x - 8

def newton_method(f, f_prime, x0, epsilon=1e-6, max_iterations=100):
    x = x0
    for _ in range(max_iterations):
        fx = f(x)
        if abs(fx) < epsilon:
            return x
        fpx = f_prime(x)
        x -= fx / fpx
    return x

# Використовуємо метод Ньютона для знаходження коренів рівняння
root = newton_method(f, f_prime, x0=0)
print(root)

Цей код використовує метод Ньютона для знаходження коренів рівняння. Вихідні дані `f` та `f_prime` представляють функцію та похідну від функції, відповідно. `x0` - це початкове наближення для кореня. `epsilon` визначає точність, до якої ми хочемо знайти корінь, і `max_iterations` визначає максимальну кількість ітерацій для пошуку кореня. У цьому випадку, коренем є наближене значення `root`, яке ми можемо вивести за допомогою функції `print()`.

Зверніть увагу, що чисельні методи можуть мати обмеження і не завжди знаходять точний корінь. В цьому випадку, результат залежатиме від початкового наближення та точності, яку ви задаєте.