Question

Записать вместо точек наименьшее возможное положительное число 3^30 = ... (mod 31)

Answer 1

Числа равны по модулю, когда одно из них получено путем однократного или многократного прибавления или отнимания этого модуля из другого числа.

$a\equiv b\pmod k\Leftrightarrow a=b+nk,\ n\in\mathbb{Z}$

Выполним преобразования:

$3^{30}=(3^3)^{10}=27^{10}\equiv(27-31)^{10}=(-4)^{10}=4^{10}=4\cdot4^9=4\cdot(4^3)^3=$

$=4\cdot64^3\equiv4\cdot(64-2\cdot31)^3=4\cdot2^3=4\cdot8=32\equiv32-31=1\pmod{31}$

Ответ: 1

Answer 2

Чтобы найти значение числа 3^30 mod 31, мы можем применить метод возведения в степень по модулю.

Для начала, у нас есть базовое значение 3, которое нужно возвести в 30-ю степень. Мы можем использовать метод бинарного возведения в степень для ускорения вычислений.

3^30 = (3^15)^2 = ((3^7)^2 * 3)^2 = (((3^3)^2 * 3)^2 * 3)^2 = ((((3^1)^2 * 3)^2 * 3)^2 * 3)^2

Теперь можем начать вычислять положительные степени числа 3 по модулю 31:

3^1 mod 31 = 3 3^3 mod 31 = (3^2) * 3 mod 31 = 9 * 3 mod 31 = 27 3^7 mod 31 = (3^3)^2 * 3 mod 31 = 27^2 * 3 mod 31 = 729 * 3 mod 31 = 12 * 3 mod 31 = 36 mod 31 = 5 3^15 mod 31 = (3^7)^2 * 3 mod 31 = 5^2 * 3 mod 31 = 25 * 3 mod 31 = 75 mod 31 = 13 3^30 mod 31 = (3^15)^2 mod 31 = 13^2 mod 31 = 169 mod 31 = 16

Таким образом, наименьшее возможное положительное число 3^30 mod 31 равно 16.