Question

Довжина більшої основи рівнобічної трапеці відносить- ся до довжини бічної сторони, як 8 : 3, і утворюе з нею кут 60°. Знайдіть периметр трапеції, якщо її діагональ дорівнює 14 см.

Answer 1

Назвемо більшу основу трапеції х і бічну сторону у. За умовою задачі, відомо, що довжина більшої основи відноситься до довжини бічної сторони як 8:3, тобто \(\frac{x}{y} = \frac{8}{3}\).

Також відомо, що більша основа утворює з бічною стороною трапеції кут 60°.

Ми можемо розбити трапецію на дві прямокутні трикутники. Позначимо одного з їх висотою h та користуватимемося теоремою Піфагора в цих трикутниках.

За застосуванням теореми Піфагора в першому трикутнику маємо: \[h^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = x^2\]

За застосуванням теореми Піфагора в другому трикутнику маємо: \[(h+y)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 14^2\]

Отож, маємо систему рівнянь: \[\begin{cases} h^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = x^2 \\ (h+y)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 14^2 \end{cases}\]

Розв'язавши цю систему рівнянь, отримаємо значення h і y: h = 4 см y = 6 см (бічна сторона стрепени) x = 16 см (більша основа трапеції)

Периметр трапеції буде сумою довжин усіх її сторін: P = x + y + x + y = 2x + 2y = 2(16 см) + 2(6 см) = 32 см + 12 см = 44 см

Отже, периметр трапеції дорівнює 44 см.