Question

СКІльки коренів має рівняння x^7+1=0

Answer 1

Объяснение:

Х^7+1=0

Х^7= - 1

Х= - 1

------------------

Answer 2

Рівняння \(x^7 + 1 = 0\) є сьомого ступеня і має комплексні корені, оскільки ми маємо ступінь семь і додано число 1.

Узагальнення для рівнянь вигляду \(x^n + a = 0\), де \(n\) - непарне число і \(a\) - константа, завжди мають хоча б один комплексний корінь. Це можна пояснити тим, що, якщо розглядати комплексні числа у формі \(re^{i\theta}\) (де \(r\) - модуль, \(e\) - число Ейлера, а \(\theta\) - аргумент), то підняття цього числа до ступеня \(n\) призводить до множення модуля на себе \(n\) разів та множення аргумента на \(n\). Якщо \(n\) - непарне число, то модуль залишається незмінним, але аргумент множиться на непарне число, тому він змінюється. Це означає, що результат не може бути додатнім дійсним числом, і отримуємо комплексний корінь.

Отже, рівняння \(x^7 + 1 = 0\) має щонайменше один комплексний корінь. Кількість коренів може бути визначена теоремою про комплексні корені, яка стверджує, що поліном \(P(x)\) ступеня \(n\) має точно \(n\) комплексних коренів (враховуючи їхню кратність) в комплексній площині. Таким чином, рівняння \(x^7 + 1 = 0\) має сім комплексних коренів.