Question

3;5;9;17 установите закономерность и запишите формулу общего члена. Можно с объяснением, желательно понятным.​

Answer 1

Ответ:

a1 = 3,

an+1 = 2•an - 1

или так:

аn = 2^n+ 1, где n - натуральное число

Объяснение:

3; 5; 9; 17; ...

Каждый последующий, начиная со второго, на единицу меньше удвоенного предыдущего.

3;

2•3 - 1 = 5;

2•5 - 1 = 9;

2•9 - 1 = 17;

2•17 - 1 = 33; и т.д.

a1 = 3, an+1 = 2•an - 1.

(a с номером (n+1) равно 2 умножить на а с номером (n) минус 1)

Это рекуррентный способ задания последовательности.

Можно пробовать задать эту последовательность и так:

аn = 2^n + 1, где n - натуральное число.

а1 = 2^1+ 1 = 3;

а2 = 2^2+ 1 = 5;

а3 = 2^3+ 1 = 9; и т.д.

Answer 2

Чтобы найти закономерность в данной последовательности чисел 3, 5, 9, 17, нужно проанализировать разницы между этими числами.

Между 3 и 5 разница составляет 2 (5 - 3), между 5 и 9 разница составляет 4 (9 - 5), между 9 и 17 разница составляет 8 (17 - 9).

Заметим, что разницы 2, 4, 8 образуют арифметическую прогрессию (2, 4, 8).

Таким образом, чтобы получить следующее число в последовательности, нужно добавить к предыдущему числу следующую разницу в арифметической прогрессии.

То есть, разница между 17 и предыдущим числом (9) составляет 8, поэтому следующее число можно получить, добавив к 17 следующую разницу в арифметической прогрессии, которая равна 16 (8 * 2).

Таким образом, следующее число в последовательности будет равно 17 + 16 = 33.

Формула общего члена для данной последовательности будет:

an = 3 + (n - 1) * 2^n,

где an - n-й член последовательности.

Answer 3

Я могу помочь вам найти закономерность и формулу общего члена последовательности 3; 5; 9; 17; ...

Для этого я сначала рассмотрю разности между соседними членами последовательности:

5 - 3 = 2

9 - 5 = 4

17 - 9 = 8

...

Я замечаю, что разности образуют геометрическую прогрессию с первым членом 2 и знаменателем 2. Это означает, что n-я разность равна 2 * 2^(n-1), где n - номер члена последовательности.

Теперь я могу выразить n-й член последовательности через n-1-й член и n-ю разность:

a_n = a_(n-1) + 2 * 2^(n-1)

Но чтобы найти формулу общего члена, мне нужно избавиться от рекуррентного соотношения. Для этого я буду складывать все уравнения вида a_n = a_(n-1) + 2 * 2^(n-1) для n от 2 до k:

a_2 = a_1 + 2 * 2^0

a_3 = a_2 + 2 * 2^1

a_4 = a_3 + 2 * 2^2

...

a_k = a_(k-1) + 2 * 2^(k-1)

Сложив все эти уравнения, я получу:

a_k - a_1 = 2 * (2^0 + 2^1 + ... + 2^(k-1))

Здесь в правой части стоит сумма первых k-1 членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 2. Я могу использовать формулу для суммы геометрической прогрессии:

S_(k-1) = (b_1 * (q^(k-1) - 1)) / (q - 1)

где b_1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии. Подставляя b_1 = 1 и q = 2, я получу:

S_(k-1) = (2^(k-1) - 1) / (2 - 1) = 2^(k-1) - 1

Тогда я могу продолжить выражение для a_k - a_1:

a_k - a_1 = 2 * (2^(k-1) - 1)

a_k = a_1 + 2 * (2^(k-1) - 1)

Так как я знаю, что первый член последовательности равен 3, я могу подставить a_1 = 3 и получить окончательную формулу общего члена:

a_k = 3 + 2 * (2^(k-1) - 1)

Это и есть ответ на ваш вопрос. Надеюсь, что мое объяснение было понятным и полезным.