Question

Последовательность задана формулой n – го члена аn= n(n + 1) а) запишите первые три члена этой последовательности и найдите а100; б) является ли членом этой последовательности число 132? 2. Последовательность задана формулой n – го члена хn= n(n - 1). а) запишите первые три члена этой последовательности и найдите х20; б) какой номер имеет член этой последовательности, равный 110? 3. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая – геометрической: (хn): 12; 8; 4;… (уn); -32; -16; -8; … а) продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие ее три члена; б) найдите двенадцатый член геометрической прогрессии. 4. Чтобы накопить деньги на покупку велосипеда, Андрей в первую неделю отложил 100рублей, а в каждую следующую откладывал на 50 рублей больше, чем в предыдущую. Какая сумма будет у него через 10 недель? Дополнительная часть. 5. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 3. 6. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна -40, знаменатель прогрессии равен -3. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии. 7. Семья Петровых взяла кредит в 25000 рублей на покупку телевизора. Процентная ставка кредита равна 2% в месяц (проценты ежемесячно начисляются на всю сумму долга, включая начисленный в предыдущий месяц процент). Петровы выплатили весь кредит единовременно через полгода. В какую сумму обошелся им телевизор? 8. Автомобильный завод каждые два года снижает цену на определенную марку автомобиля на 20% по сравнению с ее предыдущей ценой. В первый год выпуска новая модель стоила 400000 рублей. Сколько будет стоить эта модель через 10 лет? Помогите решить

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Задание 1

а)

aₙ=n( n+1)

если n=1, то  

а₁= 1*(1+1)= 1*2=2

если n=2, то  

а₂= 2*(2+1)= 2*3=6

если n=3, то

а₃= 3*(3+1)=3*4=12

а₁₀₀= 100*(100+1)= 100* 101= 10100    

б) Является ли 132 членом этой прогрессии?  

n*(n+1)= 132

n²+n-132=0

D= 1²-4*(-132)= 1+528=529

√D= 23

n₁= (-1+23)/2= 11

n₂= (-1-23)/2= -12 – не является корнем поскольку отрицательный , следовательно  

n= 11 , а это значит , что число 132 является 11 членом этой прогрессии

Задание 2

а)

xₙ=n(n-1)

если n=1, значит  

х₁=1*(1-1)=0

если n=2 , значит  

х₂=2*(2-1)=2

если n=3 ,значит  

х₃=3(3-1)=6

х₂₀= 20*(20-1)= 380

б)  

n*(n-1)=110

n²-n-110=0

D=1² -4*(-110)=441

√D= 21

n₁=(1-21)/2=-10 - не подходит, т.к. номер не может быть отрицательным

n₂=(1+21)/2=11

значит 11 член этой последовательности равен 110

Задание 3

Определения :

"Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом  d , называется арифметической прогрессией.  "

"Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число  q , называется геометрической прогрессией"

Поскольку

0-4=-4

4-8=-4

8-12=-4

Значит  d=-4

И это арифметическая прогрессия  

Продолжение будет  

0+(-4)= -4

-4+(-4)=-8

-8+(-4)= -12  

(xₙ):12,8,4;0;-4;-8 :-12

Поскольку :

-16 : (-32) = ½

-8 : (-16)= ½

-4 : (-8)= ½

Значит  

q=1/2.  И это геометрическая прогрессия.

продолжение :

(yₙ):-32,-16,-8;-4;-2;-1;.

б) bₙ =  b₁ * qⁿ⁻¹

b₁₂=-32(•1/2)¹²⁻¹=-32•(1/2)¹¹= -2⁵* (1/2)¹¹= (-1/2)⁶= -1/64.

Задание 4

Решаем по формуле первых n членов арифметической прогрессии.

a₁=100 руб

d=50 руб

n= 10 недель

Sn=( (2a₁+d*(n-1))/2)*n

S₁₀=((2*100+50*9)/2)*10=650/2*10

S₁₀=3250  руб.

Ответ: через 10 недель сумма составит 3250 руб.

Задание 5

Первое двузначное число , которое делится на 3  это 12 , значит первый член арифметической прогрессии будет а₁=12.

Последнее двузначное число , которое делится на 3 это 99 , значит

аₙ = 99  

n=( (99-12)/3)+1=30

S₃₀=((a₁+a₃₀)/2)*n=(12+99)/2*30=1665  

Задание 6

По условию :  

q= -3  

S₄=-40

Из формулы первых n членов геометрической прогрессии, найдем  значение первого члена ряда b₁.

Sn= b₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q).

b₁* (1 - (- 3)⁴)/(1 - (- 3)) = - 40.

b₁ = (- 40) : (1 - 81)/(1 + 3) = - 40 * 4/(- 80) = 2.

Найдём сумму первых восьми членов ряда.

S₈= b₁* (1 - (- 3)⁸)/(1 - (- 3)) = 2 * (1 - 6561)/4 = - 6560/2 = - 3280.

Ответ: S₈ = - 3280.

Задание 7

По формуле сложных процентов

S=k*(1+(p/100))ⁿ

где  

n- число периодов

к- первоначальная сумма

р- процентная ставка

S= 25000*(1+0,02)⁶=28154,06 руб.

Задание 8

По формуле сложных процентов

S=k*(1- (p/100))ⁿ

где  

n- число периодов

к- первоначальная сумма

р- процентная ставка

Число периодов , в данном случае будет :

n= 10 :2 = 5 , поскольку снижение цены происходило 1 раз в два года

S= 400000*(1-0,2)⁵= 131072 руб.

Answer 2

1. а) Первые три члена последовательности: а1=1*2=2, a2=2*3=6, a3=3*4=12. Чтобы найти а100, подставим в формулу n=100: а100=100*101=10100. б) Для того чтобы выяснить, является ли 132 членом последовательности, нужно решить уравнение n(n+1)=132. Решаем квадратное уравнение n^2+n-132=0. Два корня: n=11 и n=-12. Так как количество членов последовательности не может быть отрицательным, то 132 не является членом этой последовательности.

2. а) Первые три члена последовательности: х1=0, х2=2, х3=6. Чтобы найти х20, подставим в формулу n=20: х20=20*19=380. б) Чтобы найти номер члена, равного 110, нужно решить уравнение n(n-1)=110. Решаем квадратное уравнение n^2-n-110=0. Два корня: n=11 и n=-10. Так как номер члена последовательности не может быть отрицательным, то х110 не является членом этой последовательности.

3. а) Прогрессия (хn) – арифметическая, так как разность между соседними членами равна -4. Продолжение прогрессии: 0; -4; -8. Прогрессия (уn) – геометрическая, так как отношение между соседними членами равно 2. Продолжение прогрессии: -4; -8; -16. б) Для геометрической прогрессии an=a1*q^(n-1), где a1=у1=-32, q=у2/у1=-16/-32=1/2. Значит, a12=-32*(1/2)^11=-0.03125.

4. Сумма недельных отложений будет составлять арифметическую прогрессию: 100, 150, 200, … Количество членов в прогрессии равно 10, разность между соседними членами равна 50. Сумма n членов арифметической прогрессии Sn=(a1+an)*n/2. Подставим значения: S10=(100+600)*10/2=3500. Значит, через 10 недель у Андрея будет 3500 рублей.

5. Сумма двузначных чисел, кратных 3, равна сумме арифметической прогрессии: 12+15+18+…+99. Последний член прогрессии равен 99, а разность между соседними членами равна 3. Количество членов в прогрессии n=(99-12)/3+1=30. Сумма прогрессии равна: S30=(12+99)*30/2=1545.

6. Сумма первых четырех членов прогрессии: S4=a1*(q^4-1)/(q-1)=-40, где q=-3. Решим уравнение относительно a1: a1=-40*(q-1)/(q^4-1)=-10/27. Сумма первых восьми членов прогрессии: S8=a1*(q^8-1)/(q-1)=-2730/13.

7. Через полгода (т.е.