Question

1. приведена схема с рекуррентной формулой a1 =7, an+1 = 6an: а) запишите 2-й и 3-й члены последовательности;б) запишите формулу n-го члена последовательности через n;с) Дархан сказал, что число 9072 будет членом этой цепочки. Верно ли утверждение Дархана? Обоснуйте свой ответ.2. даны первые два члена арифметической прогрессии: 50, 42, 34,...а) запишите формулу n-го члена прогрессии.б) определить число положительных членов прогрессии.в) определить число последовательных членов этой прогрессии, сумма которых равна 170.3. Если в геометрической прогрессии: b2-b1 = 22, b3-b1 = 66, то:а) определите первый член и кратность геометрической прогрессии.б) найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.​​

Answer 1

$1)\ \ a_1=7\ \ ,\ \ a_{n+1}=6a_{n}\\\\a)\ \ a_2=6a_1=6\cdot 7=\underline{42}\ \ ,\ \ a_3=6a_2=6\cdot 42=\underline{252}\ \ ,\ ...\\\\b)\ \ \underline {a_{n}=a_16^{n-1}=7\cdot 6^{n-1}\ }\\\\c)\ \ 9072=7\cdot 6^{n-1}\ \ ,\ \ \ 6^{n-1}=1296\ \ ,\ \ 6^{n-1}=6^{4}\ \ ,\ \ n-1=4\ \ ,\ \ \underline{n=5}$

Число 9072 является 5-ым членом заданной прогрессии .

$2)\ \ 50\ ;\ 42\ ;\ 34\ ;\ ...\\\\d=a_2-a_1=42-50=-8\\\\a)\ \ a_{n}=a_1+d(n-1)\ \ \to \ \ a_{n}=50-8(n-1)\ \ ,\ \ a_{n}=-8n+58\\\\b)\ \ a_{n}>0\ \ \to \ \ \ -8n+58>0\ \ ,\ \ -8n>-58\ \ ,\ \ n$

Число положительных членов арифм. прогрессии равно 7 .

$c)\ \ 50+42+34+26+18=170\ \ \to \ \ \ \underline {S_5=170}$

Сумма пяти членов арифм. прогрессии равна 170 .

$3)\ \ \left\{\begin{array}{l}b_2-b_1=22\\b_3-b_1=66\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}{b_1q-b_1=22\\b_1q^2-b_1=66\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=22\\b_1(q^2-1)=66\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=22\\b_1(q-1)(q+1)=66\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=22\\22(q+1)=66\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=22\\q+1=3\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}b_1\cdot (2-1)=22\\q=2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1=22\\q=2\end{array}\right\\\\\\S_5=\dfrac{b_1(q^{n}-1)}{q-1}=\dfrac{22\cdot (2^5-1)}{2-1}=22\cdot 31=\underline {682}$

Answer 2

1. Для данной рекуррентной последовательности с формулой a1 = 7 и an+1 = 6an:

   а) Чтобы найти 2-й член (a2), подставим n = 1 в формулу: a2 = 6a1 = 6 * 7 = 42

   Для 3-го члена (a3): a3 = 6a2 = 6 * 42 = 252

   б) Формула n-го члена последовательности через n: an = 7 * 6^(n-1)

   в) Чтобы проверить, является ли 9072 членом этой цепочки, давайте подставим его в формулу и посмотрим, равно ли это утверждение:

   9072 = 7 * 6^(n-1)

   Для n = 4, мы получаем: 9072 = 7 * 6^3 = 7 * 216 = 1512

   Это утверждение неверно, так как 9072 не равно 1512. Таким образом, число 9072 не является членом этой цепочки.

2. Для данной арифметической прогрессии с первыми двумя членами 50 и 42:

   а) Формула n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 + (n - 1) * d, где a1 = 50 и d = 42 - 50 = -8 Таким образом, формула будет: an = 50 + (n - 1) * (-8)

   б) Чтобы найти число положительных членов прогрессии, решим неравенство an > 0: 50 + (n - 1) * (-8) > 0

   Решая это неравенство: 50 - 8n + 8 > 0 -8n + 58 > 0 -8n > -58 n < 58/8 n < 7.25

   Так как n должно быть целым числом, то есть 7 положительных членов в прогрессии.

   в) Чтобы найти число последовательных членов прогрессии, сумма которых равна 170, установим уравнение: 50 + (a + 1) * (-8) = 170

   Решая это уравнение: -8a - 8 + 50 = 170 -8a + 42 = 170 -8a = 170 - 42 -8a = 128 a = -16

   Таким образом, последовательных членов сумма которых равна 170, будет 17.

3. Для данной геометрической прогрессии с b2 - b1 = 22 и b3 - b1 = 66:

   а) Первый член геометрической прогрессии (b1) можно найти из первого уравнения: b2 - b1 = 22 b1 = b2 - 22

   Теперь мы знаем b1, и можем найти кратность геометрической прогрессии из второго уравнения: b3 - b1 = 66 b3 = b1 + 66

   Кратность геометрической прогрессии: q = b3 / b1 = (b1 + 66) / b1

   б) Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, используем формулу суммы n членов геометрической прогрессии: S5 = b1 * (q^5 - 1) / (q - 1)

   Здесь b1 равно b2 - 22, а q равно (b1 + 66) / b1, как найдено в предыдущем ответе. Вы можете подставить эти значения в формулу для S5 и вычислить сумму первых пяти членов.