Question

Решите неравенство (x + 2)^2≤ 2х(x +3) +5

Answer 1

2х*(х+3)+5≥(х+2)²;

2х²+6х+5≥х²+4х+4;

х²+2х+≥0; (х+1)²≥0; х- любое действительное число

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

\[(x + 2)^2 \leq 2x(x + 3) + 5\]

1. Раскроем скобки:

\[x^2 + 4x + 4 \leq 2x^2 + 6x + 5\]

2. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[0 \leq x^2 + 2x - 1\]

3. Теперь попробуем решить это квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным корнем:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = -1\). Подставим значения:

\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}\]

\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2}\]

\[x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2}\]

\[x = -1 \pm \sqrt{2}\]

Таким образом, у нас два корня: \(x_1 = -1 + \sqrt{2}\) и \(x_2 = -1 - \sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти интервалы, где неравенство выполняется, нужно анализировать знак выражения внутри квадратных скобок. Мы видим, что коэффициент при \(x^2\) положителен (\(a = 1 > 0\)), поэтому график уравнения открывается вверх.

Таким образом, нам интересны те значения \(x\), для которых \(x\) принадлежит интервалу между корнями:

\[-1 - \sqrt{2} \leq x \leq -1 + \sqrt{2}\]

Это и есть ответ на неравенство.