Question

Вопрос 6 (2 балла) Решите уравнение 5/(x ^ 2 + 2x + 1) = 2/(1 - x ^ 2) + 1/(x - 1)​

Answer 1

Объяснение:

$></p><p><strong><em>ОДЗ: х+1≠0   х≠-1   х-1≠0   х≠1.</em></strong></p><p><img src=$

Ответ: x=4.

Answer 2

Конечно, давайте решим данное уравнение. Уравнение выглядит следующим образом:

\[ \frac{5}{x^2 + 2x + 1} = \frac{2}{1 - x^2} + \frac{1}{x - 1} \]

Первым шагом можно упростить дроби, чтобы сделать уравнение более удобным:

\[ \frac{5}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(1 - x)(1 + x)} + \frac{1}{x - 1} \]

Теперь найдем общий знаменатель для дробей справа:

\[ \frac{5}{(x + 1)^2} = \frac{2}{1 - x^2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1 + x}{1 + x} \]

\[ \frac{5}{(x + 1)^2} = \frac{2(x - 1)}{(1 - x)(1 + x)} + \frac{1 + x}{(x - 1)(1 + x)} \]

\[ \frac{5}{(x + 1)^2} = \frac{2x - 2}{1 - x^2} + \frac{1 + x}{(x - 1)(1 + x)} \]

Теперь объединим дроби справа:

\[ \frac{5}{(x + 1)^2} = \frac{2x - 2 + 1 + x}{(x - 1)(1 + x)} \]

\[ \frac{5}{(x + 1)^2} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(1 + x)} \]

Теперь умножим обе стороны на \((x - 1)(1 + x)\) для избавления от знаменателя в дроби справа:

\[ 5 = \frac{(3x - 1)(x - 1)(1 + x)}{(x + 1)^2} \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 5 = \frac{(3x - 1)(x^2 - 1)}{(x + 1)^2} \]

\[ 5 = \frac{3x^3 - 3x - x^2 + 1}{(x + 1)^2} \]

Умножим обе стороны на \((x + 1)^2\) для избавления от знаменателя:

\[ 5(x + 1)^2 = 3x^3 - 3x - x^2 + 1 \]

Раскроем скобки:

\[ 5(x^2 + 2x + 1) = 3x^3 - 3x - x^2 + 1 \]

\[ 5x^2 + 10x + 5 = 3x^3 - x^2 - 3x + 1 \]

Теперь приведем все члены уравнения в стандартную форму:

\[ 3x^3 - x^2 - 3x + 1 - 5x^2 - 10x - 5 = 0 \]

\[ 3x^3 - 6x^2 - 13x - 4 = 0 \]

Таким образом, уравнение \( 5/(x^2 + 2x + 1) = 2/(1 - x^2) + 1/(x - 1) \) эквивалентно уравнению \( 3x^3 - 6x^2 - 13x - 4 = 0 \). Уравнение третьей степени может иметь несколько корней, и их можно найти численными методами или методом деления многочленов.