Question

Найдите наибольшее значение выражения 4(ctg²b+sin²b+cos²b)sin⁴b

Answer 1

Давайте разберемся с выражением:

\[4(\cot^2b + \sin^2b + \cos^2b)\sin^4b.\]

Заметим, что \(\cot^2b + \sin^2b + \cos^2b\) равно единице, так как \(\cot^2b\) + \(\cot^2b\) = 1, и \(\sin^2b + \cos^2b\) также равно 1 из-за тригонометрического тождества.

Таким образом, у нас получается:

\[4(\cot^2b + \sin^2b + \cos^2b)\sin^4b = 4 \cdot 1 \cdot \sin^4b = 4\sin^4b.\]

Теперь нам нужно найти максимальное значение для \(\sin^4b\). Так как \(\sin^4b\) является квадратом синуса, и \(0 \leq \sin^2b \leq 1\) для любого угла \(b\), то максимальное значение \(\sin^4b\) будет 1 (когда \(\sin^2b = 1\)).

Таким образом, наибольшее значение выражения будет:

\[4\sin^4b = 4 \cdot 1 = 4.\]

Итак, максимальное значение выражения \(4(\cot^2b + \sin^2b + \cos^2b)\sin^4b\) равно 4.