Question

Доказать тождество (cos2B+cos6B)/sin4B + (sin2B + sin6B)/(1 + cos4B) = 1/sin2B

Answer 1

Надеюсь, все понятно

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и постараемся привести её к правой стороне:

Дано тождество: (cos2B + cos6B)/sin4B + (sin2B + sin6B)/(1 + cos4B) = 1/sin2B

1. Приведем числители к общему знаменателю sin4B * (1 + cos4B):

(cos2B + cos6B)/sin4B + (sin2B + sin6B)/(1 + cos4B) = [(cos2B + cos6B)(1 + cos4B) + sin4B(sin2B + sin6B)] / [sin4B*(1 + cos4B)]

2. Раскроем скобки в числителе:

(1 + cos4B)cos2B + (1 + cos4B)cos6B + sin4Bsin2B + sin4Bsin6B

3. Воспользуемся формулами тригонометрии:

cos(2A) = 2cos^2(A) - 1 cos(6A) = 32cos^6(A) - 48cos^4(A) + 18cos^2(A) - 1 sin(2A) = 2*sin(A)*cos(A)

Теперь преобразуем выражение:

(1 + cos4B)cos2B = [2cos^2(2B) - 1]cos(2B) = 2cos^3(2B) - cos(2B)

(1 + cos4B)cos6B = [2cos^2(6B) - 1]cos(6B) = 2(32cos^6(B) - 48cos^4(B) + 18cos^2(B) - 1)cos(6B) = 64cos^7(B) - 96cos^5(B) + 36cos^3(B) - 2cos(6B)

sin4Bsin2B = 2sin(2B)cos(2B) = 4sin(B)*cos^2(B)

sin4Bsin6B = 2sin(6B)cos(6B) = 4sin(3B)cos(3B) = 43sin(B)cos(B)(4cos^2(B) - 3)

4. Подставим обратно в исходное выражение:

(1 + cos4B)cos2B + (1 + cos4B)cos6B + sin4Bsin2B + sin4Bsin6B = = (2cos^3(2B) - cos(2B)) + (64cos^7(B) - 96cos^5(B) + 36cos^3(B) - 2cos(6B)) + 4sin(B)cos^2(B) + 43sin(B)cos(B)(4cos^2(B) - 3)

5. Упростим выражение:

2cos^3(2B) - cos(2B) + 64cos^7(B) - 96cos^5(B) + 36cos^3(B) - 2cos(6B) + 4sin(B)cos^2(B) + 12sin(B)cos^3(B)(4*cos^2(B) - 3)

6. Воспользуемся тригонометрическими тождествами: cos(2A) = 2cos^2(A) - 1 cos(3A) = 4cos^3(A) - 3*cos(A)

Подставим их в предыдущее выражение:

2*(2cos^2(2B) - 1)^3 - (2cos^2(2B) - 1) + 64cos^7(B) - 96cos^5(B) + 36cos^3(B) - 2cos(6B) + 4sin(B)cos^2(B) + 12sin(B)cos^3(B)(4cos^2(B) - 3)

7. Упростим дальше:

2*(8cos^6(2B) - 12cos^4(2B) + 6cos^2(2B) - 1) - 2cos^2(2B) + 1 + 64cos^7(B) - 96cos^5(B) + 36cos^3(B) - 2cos(6B) + 4sin(B)cos^2(B) + 12sin(B)cos^3(B)(4cos^2(B) - 3)

8. Объединим подобные слагаемые:

16cos^6(2B) - 24cos^4(2B) + 12cos^2(2B) - 2cos^2(2B) + 1 + 64cos^7(B) - 96cos^5(B) + 36cos^3(B) - 2cos(6B) + 4sin(B)cos^2(B) + 12sin(B)cos^3(B)(4cos^2(B) - 3)

9. Упростим еще раз:

16cos^6(2B) - 26cos^4(2B) + 10cos^2(2B) + 1 + 64cos^7(B) - 96cos^5(B) + 36cos^3(B) - 2cos(6B) + 4sin(B)cos^2(B) - 36sin(B)*cos^3(B)*cos^2(B)

10. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin^2(A) = 1 - cos^2(A)

Подставим его в последнее выражение:

16*(1 - sin^2(2B))^3 - 26*(1 - sin^2(2B))^2 + 10*(1 - sin^2(2B)) + 1 + 64*(1 - sin^2(B))^3 - 96*(1 - sin^2(B))^2 + 36*(1 - sin^2(B)) - 2cos(6B) + 4sin(B)(1 - sin^2(B)) - 36sin(B)*cos^3(B)*cos^2(B)

11. Обозначим sin^2(2B) = x и sin^2(B) = y:

16*(1 - x)^3 - 26*(1 - x)^2 + 10*(1 - x) + 1 + 64*(1 - y