Question

Найдите все натуральные значения n,при которых выполняется равенство: 9^n-2*3^n-3=0

Answer 1

$9^{n}-2*3^{n}-3=0\\\\3^{2n}-2*3^{n} -3*0\\\\3^{n} =a,a>0\\\\a^{2}-2a-3=0\\\\a_{1}=3\\\\a_{2}=-1$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод замены переменных. Давайте проведем эти шаги по порядку.

Шаг 1: Замена переменных

Пусть x = 3^n. Тогда уравнение примет вид: 9^n - 2 * 3^n - 3 = 0 (x^2) - 2x - 3 = 0

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение x^2 - 2x - 3 = 0. Для этого можно использовать формулу дискриминанта или завершение квадратного трехчлена. В данном случае, дискриминант равен D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16. Так как D > 0, у нас есть два вещественных корня.

Шаг 3: Нахождение корней

Используя формулу дискриминанта, мы можем найти корни квадратного уравнения: x1 = (-b + √D) / (2a) x2 = (-b - √D) / (2a)

В нашем случае, a = 1, b = -2, c = -3. Подставим значения и решим: x1 = (-(-2) + √16) / (2 * 1) = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 x2 = (-(-2) - √16) / (2 * 1) = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Шаг 4: Нахождение значений n

Теперь, когда у нас есть значения x, мы можем найти значения n. Используя исходное определение x = 3^n: x1 = 3^n1 = 3^3 = 27 x2 = 3^n2 = 3^(-1) = 1/3

Таким образом, натуральные значения n, при которых выполняется данное равенство, равны 3 и -1.