Question

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Answer 1

Ответ:

$y' - \frac{y}{x} = {x}^{3}$

замена:

$y = UV \\ y = U'V + V'U$

$U'V+ V'U- \frac{UV}{x} = {x}^{3} \\ U'V + U(V' - \frac{V}{x} ) = {x}^{3} \\ \\ 1)V'- \frac{V}{x} = 0 \\ \frac{dV}{dx} = \frac{V}{x} \\ \int\limits \frac{dV}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(V) = ln(x) \\ v = x \\ \\ 2)U'V = {x}^{3} \\ \frac{du}{dx} \times x = {x}^{3} \\ \int\limits \: dU = \int\limits {x}^{2} dx \\ U = \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ \\ y = UV = x( \frac{ {x}^{3} }{3} + C) \\ y = \frac{ {x}^{4} }{3} + Cx$

общее решение

$y(1) = 3$

$3 = \frac{1}{3} + C \\ C = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

$y = \frac{ {x}^{4} }{3} + \frac{8x}{3} \\ y = \frac{ {x}^{4} + 8x}{3}$

частное решение

Answer 2

Частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка представляет собой функцию, которая удовлетворяет уравнению, но не включает в себя свободные коэффициенты. Другими словами, это решение уравнения, которое найдено без использования начальных условий.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид:

y' + p(t)y = g(t)

где `y'` - производная функции `y` по `t`, `p(t)` и `g(t)` - произвольные функции от `t` .

Частное решение этого уравнения можно найти, используя метод интегрирующего множителя. Сначала умножаем уравнение на интегрирующий множитель, который обычно выбирается таким, чтобы левая часть уравнения стала дифференциалом произведения:

e^(∫p(t) dt) y = ∫e^(∫p(t) dt) g(t) dt + C

где `e^(∫p(t) dt)` - интегрирующий множитель, `C` - константа интегрирования.

В результате получаем частное решение уравнения, которое можно выразить через интегралы от `g(t)` и `p(t)` .