Question

Функция f нечетная. Может ли выполняться равенство: 1) f(1) + f(-1)=1; 2) f(2) f(-2) = 3​

Answer 1

Ответ:

1) нет, не может

2) нет, не может

Решение:

1)

$f(1) + f(-1)=1$

Рассмотрим и преобразуем выражение в левой части, учитывая, что функция f - нечетная:

$f(1) + f(-1)=f(1)-f(1)=0$

Как видно, левая часть всегда равна 0. Следовательно, она не равна 1:

$\boxed{f(1) + f(-1)\neq 1}$

2)

$f(2) f(-2) = 3$

Аналогично, преобразуем выражение в левой части:

$f(2) f(-2) = f(2)\cdot(- f(2) )=-f^2(2)$

Квадрат любого выражения принимает только неотрицательные значения:

$f^2(2)\geqslant 0$

Тогда:

$-f^2(2)\leqslant 0$

Значит, левая часть может принимать только неположительные значения. Следовательно, она не может принимать значение, равное 3:

$\boxed{f(2) f(-2) \neq 3}$

Элементы теории:

Функция $y=f(x)$ называется нечетной, если для нее выполняется соотношение: $f(-x)=-f(x)$.

Answer 2

Функция f называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство f(-x) = -f(x) . Это означает, что значение функции меняется на противоположное при изменении знака аргумента. График нечетной функции симметричен относительно начала координат .

1) Если f(1) + f(-1) = 1, то это означает, что f(1) = -f(-1) + 1. Но по определению нечетной функции, f(1) = -f(-1), а значит, получаем противоречие: -f(-1) = -f(-1) + 1. Это невозможно, поэтому равенство f(1) + f(-1) = 1 не может выполняться для нечетной функции.

2) Если f(2) + f(-2) = 3, то это означает, что f(2) = -f(-2) + 3. Но по определению нечетной функции, f(2) = -f(-2), а значит, получаем противоречие: -f(-2) = -f(-2) + 3. Это невозможно, поэтому равенство f(2) + f(-2) = 3 не может выполняться для нечетной функции.

Итак, мы видим, что для нечетной функции f всегда верно, что f(x) + f(-x) = 0 . Это свойство можно использовать для проверки четности или нечетности функции. Надеюсь, это ответило на ваш вопрос.