Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции x(t)=3t4−4t+5, если 1≤t≤3.

Answer 1

Ответ:

Меньшее: 13, большее: 29

Объяснение:

Т.к. t≥1 следовательно меньшая граница 1, и t≤3 следовательно большая граница 3. Потом подставляем оба значения и решаем.

P.s. решение выполнено согласно тому, что 3t4 это 3×4×t

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \(x(t) = 3t^4 - 4t + 5\) на интервале \(1 \leq t \leq 3\), мы сначала найдем производную функции и определим её критические точки на данном интервале. Затем, используя информацию о производной, мы определим, где функция достигает максимальных и минимальных значений.

1. Найдем производную функции \(x(t)\): \[x'(t) = 12t^3 - 4\]

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: \[12t^3 - 4 = 0\]

Решим это уравнение: \[12t^3 = 4\] \[t^3 = \frac{4}{12}\] \[t^3 = \frac{1}{3}\] \[t = \sqrt[3]{\frac{1}{3}}\]

Теперь найдем значение \(t\) (критической точки) в пределах от 1 до 3, так как интервал задан как \(1 \leq t \leq 3\).

3. Проверим критическую точку \(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\), чтобы убедиться, что она находится внутри интервала \(1 \leq t \leq 3\). Мы видим, что \(\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \approx 0.693\) и она находится в пределах данного интервала.

Теперь мы знаем, что критическая точка находится внутри интервала \([1, 3]\). Для определения наибольшего и наименьшего значений функции \(x(t)\) на этом интервале, мы можем воспользоваться методом проверки значений функции на концах интервала (1 и 3), а также в найденной критической точке (\(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\)).

4. Вычислим значение функции в концах интервала: - \(x(1) = 3(1)^4 - 4(1) + 5 = 3 - 4 + 5 = 4\) - \(x(3) = 3(3)^4 - 4(3) + 5 = 3(81) - 12 + 5 = 243 - 12 + 5 = 236\)

5. Вычислим значение функции в критической точке: - \(x\left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\right) \approx 3\left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\right)^4 - 4\left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\right) + 5\)

Теперь сравним значения функции в этих точках, чтобы найти наибольшее и наименьшее:

- Наименьшее значение: 4 (при \(t = 1\)) - Наибольшее значение: \(\approx 236\) (при \(t = 3\))

Таким образом, наименьшее значение функции \(x(t)\) на интервале \([1, 3]\) равно 4, а наибольшее значение равно примерно 236.