Question

При каких целых n значение выражения (n-3)^2/n^2 является целым числом?

Answer 1

Запишем дробь степенью дроби ((п-3)/п)²

Теперь дробь запишем суммой дробей:(п/п-3/п)² = (1-3/п)². Результат будет целым числом, если 3/п будет целым. Значит п=+-1 и +-3. На другие числа число 3 не делится.

Answer 2

Выражение, которое нужно исследовать, это (n-3)^2/n^2. Чтобы выражение было целым числом, числитель и знаменатель должны иметь общие множители.

Разложение выражения:

(n-3)^2/n^2 = (n-3)(n-3)/n^2

Анализ общих множителей:

Чтобы числитель и знаменатель имели общие множители, необходимо, чтобы (n-3) было кратно n. Это означает, что (n-3) должно делиться на n без остатка.

Возможные значения n:

Давайте рассмотрим несколько значений n, чтобы определить, при каких целых n выражение будет целым числом.

1. Пусть n = 3: - В этом случае, числитель равен (3-3)(3-3) = 0, а знаменатель равен 3^2 = 9. - Выражение равно 0/9 = 0, что является целым числом.

2. Пусть n = 6: - В этом случае, числитель равен (6-3)(6-3) = 3^2 = 9, а знаменатель равен 6^2 = 36. - Выражение равно 9/36 = 1/4, что не является целым числом.

3. Пусть n = 9: - В этом случае, числитель равен (9-3)(9-3) = 6^2 = 36, а знаменатель равен 9^2 = 81. - Выражение равно 36/81 = 4/9, что не является целым числом.

4. Пусть n = 12: - В этом случае, числитель равен (12-3)(12-3) = 9^2 = 81, а знаменатель равен 12^2 = 144. - Выражение равно 81/144 = 9/16, что не является целым числом.

Вывод:

Исходя из проведенного анализа, можно сделать вывод, что выражение (n-3)^2/n^2 будет целым числом только при n = 3. При других значениях n, выражение будет давать дробные числа.