Question

Знайдіть усі значення а, для яких рівняння х2+2(а-1)х+а2-5а-4=0 має два різні корені. срочно даю 15 балов

Answer 1

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда его дискриминант положительный, т.е. требуется решить неравенство $D>0$

$D=4(a-1)^2-4(a^2-5a-4)=4a^2-8a+4-4a^2+20a+16=12a+20>0\\ \\ a>-\frac{5}{3}$

При $a \in (-\frac{5}{3};+\infty)$ уравнение имеет два различных корня

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра "a", при которых уравнение \(x^2 + 2(a-1)x + a^2 - 5a - 4 = 0\) имеет два различных корня, нужно использовать дискриминант уравнения квадратного трёхчлена:

Дискриминант (D) уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле: \[D = b^2 - 4ac\]

В нашем уравнении коэффициенты следующие: - \(a = 1\) - \(b = 2(a-1) = 2a - 2\) - \(c = a^2 - 5a - 4\)

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = (2a - 2)^2 - 4(1)(a^2 - 5a - 4)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[D = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 + 20a + 16\] \[D = 12a + 20\]

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным числом. То есть:

\[12a + 20 > 0\]

Теперь решим это неравенство:

\[12a + 20 > 0\] \[12a > -20\] \[a > -\frac{20}{12}\] \[a > -\frac{5}{3}\]

Итак, для всех значений параметра "a", которые больше -5/3, уравнение \(x^2 + 2(a-1)x + a^2 - 5a - 4 = 0\) будет иметь два различных корня.