Question

Определите, при каких значениях параметра a уравнение a(x^2-2)=2x-3 имеет ровно один неотрицательный корень. По следствиям из теоремы Виета: x1=x2>0 если -(b/a)>0 и D=0 И x1=x2=0 если b=0 и D=0

Answer 1

Ответ:

а1=0,5; а2=1.

Объяснение:

а(х^2-2)=2х-3

а(х^2)-2а=2х-3

а(х^2)-2а-2х+3=0

а(х^2)-2х+(3-2а)=0

D=(-2)*(-2)-4*a*(3-2a)=

=4-12a+8a^2=0

при этом, -(-2)/a=2/а>0, то есть а>0

4-12a+8a^2=0

2*(2-6a+4a^2)=0 |:2

2-6a+4a^2=0. (не забываем, что a>0)

D=(-6)*(-6)-4*4*2=36-32=4=2*2

a1=(-(-6)+2)/(2*4)=(6+2)/8=8/8=1>0—›корень подходит

a2=(-(-6)-2)/(2*4)=(6-2)/8=4/8=1/2=0,5>0—›корень подходит

проверка:

1)а=1

1*(х^2-2)=2х-3

х^2-2=2х-3

х^2-2-2х+3=0

х^2-2х+1=0

(х-1)^2=0

х=1>0, 1корень —› верно

2)а=1/2

(1/2)*(х^2-2)=2х-3 |×2

(1/2)*2*(х^2-2)=(2х-3)*2

1*(х^2-2)=(2х-3)*2

х^2-2=4х-6

х^2-2-4х+6=0

х^2-4х+4=0

(х-2)^2=0

х=2>0, 1корень —› верно

Answer 2

Для определения, при каких значениях параметра "a" уравнение a(x^2-2) = 2x-3 имеет ровно один неотрицательный корень, мы можем использовать следствия из теоремы Виета, как вы указали. Теорема Виета гласит, что если уравнение второй степени имеет корни x1 и x2, то сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. В данном уравнении a(x^2-2) = 2x-3, мы видим, что a = 1, b = 2, и c = -3. Теперь мы можем применить следствия из теоремы Виета. Сумма корней равна -b/a. В нашем случае: -b/a = -2/1 = -2 Произведение корней равно c/a: c/a = -3/1 = -3 Теперь давайте рассмотрим условия для нашего уравнения, чтобы оно имело ровно один неотрицательный корень. 1. -(b/a) > 0: Да, -2 больше нуля. 2. D = 0: Дискриминант D для уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется как D = b^2 - 4ac. В нашем случае: D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 D равно 16, что не равно нулю. Исходя из следствий из теоремы Виета, уравнение a(x^2-2) = 2x-3 имеет ровно один неотрицательный корень при a = 1, так как выполняются оба условия: 1. -(b/a) > 0: -2/1 > 0 2. D = 0: D = 16 ≠ 0 Таким образом, при a = 1 уравнение a(x^2-2) = 2x-3 имеет ровно один неотрицательный корень.