Question

Решите пожалуйста неравенство |x²-x-6|>x+2

Answer 1

При условии x + 2 ≥ 0 откуда x ≥ -2 возводим обе части неравенства в квадрат, получаем

$(x^2-x-6)^2-(x+2)^2>0\\ \\ (x^2-x-6-x-2)(x^2-x-6+x+2)>0\\ \\ (x^2-2x-8)(x^2-4)>0\\ \\ (x+2)(x-4)(x-2)(x+2)>0\\ \\ (x+2)^2(x-2)(x-4)>0$

___+____(-2)____+___(2)____-____(4)_____+____

Получаем x ∈ (-∞;-2)∪(-2;2)∪(4;+∞).

При x + 2 < 0 исходное неравенство тоже верно.

Ответ: x ∈ (-∞;-2)∪(-2;2)∪(4;+∞).

Answer 2

Для решения данного неравенства |x² - x - 6| > x + 2, необходимо разделить его на два отдельных неравенства, каждое из которых будет рассматривать два случая: когда x² - x - 6 больше или меньше нуля. 1. Сначала рассмотрим случай, когда x² - x - 6 > 0. Этот случай происходит, когда x² - x - 6 положительно. Раскрыв скобки, получим x(x - 1) - 6 > 0. Это уравнение имеет два корня: x1 = 0 и x2 = 1. Таким образом, на интервале (-∞; 0) и (0; 1), x² - x - 6 отрицательно, а на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) - положительно [Source 2](https://uchi.ru/otvety/questions/reshite-neravenstvo-x-2-x-6-0). 2. Теперь рассмотрим случай, когда x² - x - 6 < 0. Этот случай происходит, когда x² - x - 6 отрицательно. Используя тот же метод, как и выше, получим x(x - 1) - 6 < 0, что дает нам корни x1 = 0 и x2 = 1. Это означает, что на интервалах (-∞; 0) и (0; 1) x² - x - 6 положительно, а на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) - отрицательно [Source 2](https://uchi.ru/otvety/questions/reshite-neravenstvo-x-2-x-6-0). Теперь, когда у нас есть два отдельных неравенства, мы можем их решить по отдельности. Для этого нам нужно применить метод сравнения правых частей. Для этого сначала найдем значения функций x² - x - 6 и x + 2 при x = 0 и x = 1. Если x² - x - 6 > x + 2, то исходное неравенство будет истинно, иначе - ложно. Подставим x = 0 в обе функции: f(0) = |0² - 0 - 6| = |-6| = 6 g(0) = 0 + 2 = 2 Таким образом, |x² - x - 6| > x + 2 не выполняется при x = 0. Подставим x = 1 в обе функции: f(1) = |1² - 1 - 6| = |-6| = 6 g(1) = 1 + 2 = 3 Таким образом, |x² - x - 6| > x + 2 выполняется при x = 1. Итак, решение исходного неравенства |x² - x - 6| > x + 2 составляет интервалы, где функция |x² - x - 6| больше функции x + 2, то есть интервал (-∞; 1).