Question

Докажите, что при любом значении х верно неравенство 4х2 + 1 ≥ 4х

Answer 1

$4 {x}^{2} + 1 \geqslant 4x$
$4 {x}^{2} - 4x + 1 \geqslant 0$
В левой части последнего неравенства стоит полный квадрат разности
${(2x - 1)}^{2} \geqslant 0$
А т. к. квадрат любого числа есть число положительное, то неравенство справедливо для любого х.
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что при любом значении х верно неравенство 4х² + 1 ≥ 4х, можно воспользоваться одним из следующих способов:

- С помощью определения неравенства. Для этого нужно оценить разность левой и правой частей неравенства и сравнить её с нулём. То есть, нужно доказать, что 4х² + 1 - 4х ≥ 0 при любом х. Раскрыв скобки и упростив, получим: 4х² - 4х + 1 ≥ 0. Это квадратное неравенство, которое можно решить с помощью дискриминанта. Найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (-4)² - 4·4·1 = 16 - 16 = 0. Поскольку D = 0, то уравнение имеет один корень: х = -b/2a = -(-4)/2·4 = 1/2. Значит, неравенство выполняется при всех х, кроме х = 1/2. Однако, если подставить х = 1/2 в исходное неравенство, то получим: 4·(1/2)² + 1 ≥ 4·(1/2), что равносильно: 1 + 1 ≥ 2, что является верным утверждением. Следовательно, неравенство верно при любом значении х.

- Методом «от противного». Для этого нужно предположить, что неравенство неверно, то есть, что существует такое значение х, при котором 4х² + 1 < 4х. Тогда получим: 4х² - 4х + 1 < 0. Найдём дискриминант этого квадратного неравенства: D = b² - 4ac = (-4)² - 4·4·1 = 16 - 16 = 0. Поскольку D = 0, то уравнение имеет один корень: х = -b/2a = -(-4)/2·4 = 1/2. Значит, неравенство не выполняется ни при каком значении х, кроме х = 1/2. Однако, если подставить х = 1/2 в исходное неравенство, то получим: 4·(1/2)² + 1 < 4·(1/2), что равносильно: 1 + 1 < 2, что является ложным утверждением. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно, неравенство верно при любом значении х.

- С помощью геометрической интерпретации. Для этого нужно представить левую и правую части неравенства как площади квадратов со сторонами a и b соответственно. Тогда нужно доказать, что площадь квадрата со стороной a всегда больше или равна площади квадрата со стороной b при любом значении х. Пусть a = √(4х² + 1) и b = √(4х). Тогда a² = b² + (a-b)². Поскольку (a-b)² ≥0 при любом значении х (это очевидное неравенство), то a² ≥ b² при любом значении х. Значит, площадь квадрата со стороной a всегда больше или равна площади квадрата со стороной b при любом значении х. Следовательно, неравенство верно при любом значении х.

Надеюсь, что мой ответ был полезен и понятен для вас.