Question

Помогите решить Метод Мат. Индукции. 2*3+3*4+...+(n+1)(n+2)=(n(n^2+6n+11))/3

Answer 1

Решение.......................

Answer 2

Для решения этой задачи с использованием метода математической индукции мы должны доказать, что утверждение выполняется для базового случая (например, при n = 1), а также показать, что если оно выполняется для некоторого значения n, то оно также выполняется и для следующего значения n + 1. Шаг 1: Базовый случай Для n = 1, утверждение утверждает, что 2 * 3 = (1(1^2 + 6 * 1 + 11))/3. 2 * 3 = 6 и (1(1^2 + 6 * 1 + 11))/3 = (1(1 + 6 + 11))/3 = (18)/3 = 6. Таким образом, утверждение выполняется для базового случая. Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение выполняется для некоторого значения n = k. То есть (k+1)(k+2) = (k(k^2 + 6k + 11))/3. Шаг 3: Доказательство для n = k + 1 Нам нужно показать, что утверждение выполняется для n = k + 1, то есть (k+2)(k+3) = ((k+1)((k+1)^2 + 6(k+1) + 11))/3. (k+2)(k+3) = k^2 + 5k + 6 = k(k+1)+5(k+1) +6 = (k+1)(k+6)+6. Для того чтобы выполнить Ind. Предположение, мы можем заменить (k+1)(k^2 + 6k + 11) на (k+1)((k+1)^2 + 6(k+1) + 11)/3. Затем мы должны показать, что (k+1)(k+6) + 6 = (k+1)((k+1)^2 + 6(k+1) + 11)/3. (k+1)(k+6) + 6 = (k(k+1)+5(k+1)) + 6 = (k+1)(k+5)+6. Мы можем заменить (k+1)(k+5) на ((k+1)((k+1)^2 + 6(k+1) + 11))/3. ((k+1)((k+1)^2 + 6(k+1) + 11))/3 + 6 = ((k+1)((k+1)^2 + 6(k+1) + 11))/3 + 18/3. ((k+1)((k+1)^2 + 6(k+1) + 11))+ 18 = ((k+1)((k+1)^2 + 6(k+1) + 11)+ 18)/3. Итак, утверждение выполнено и для n = k + 1. Поэтому, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.