Question

Почему в треугольнике паскаля сумму каждой строки можно представить как 2^n выразить формулой

Answer 1

Сумма чисел,стоящих в любой стоке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящих в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды.
Сумма чисел первой строки равна 1. Следовательно, сумма чисел, стоящих в строках треугольника паскаля, образуют геометрическую прогрессию, с первым членом, равным 1 и знаменателем 2: 1;2;4;8;....
Поэтому  (x+y)^n=2^n

Answer 2

Треугольник Паскаля - это таблица чисел, в которой каждое число получается как сумма двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке таблицы. Первая строка треугольника состоит только из единицы.

Для объяснения того, почему сумма каждой строки треугольника Паскаля можно представить как 2^n, рассмотрим свойства этого треугольника.

1. Каждое число в треугольнике является биномиальным коэффициентом для степени (n, k). Это означает, что число в позиции (n, k) равно количеству способов выбрать k элементов из множества из n элементов.

2. В каждой строке треугольника Паскаля все биномиальные коэффициенты с нулевыми и последними позициями равны единице, а все остальные коэффициенты можно получить как сумму двух соседних коэффициентов из предыдущей строки.

3. Количество колонок в строке n треугольника Паскаля равно n + 1.

Теперь рассмотрим сумму элементов в каждой строке треугольника.

Сумма элементов в строке треугольника Паскаля состоит из двух частей: сумма коэффициентов на границах строки (нулевом и последнем) и сумма всех "внутренних" коэффициентов.

В каждой строке треугольника Паскаля сумма коэффициентов на границах равна 2. Это можно объяснить тем, что на границах стоят единицы.

Количество "внутренних" коэффициентов в строке равно количеству колонок минус 2 (два коэффициента на границах). То есть, для n-ой строки, где n - номер строки треугольника, внутренних коэффициентов будет n - 1.

Таким образом, сумма каждой строки треугольника Паскаля равна:

2 + (n - 1) = n + 1 = 2^n.

Так как количество колонок в строке равно n + 1, можно выразить сумму каждой строки треугольника Паскаля как 2^n.

Формула для суммы каждой строки треугольника Паскаля: 2^n.