Question

Вычислить (-2+2i) в 7 степени по формуле Муавра и записать в алгебраческой форме результат

Answer 1

Понятия не имею, что такое формула Муавра, но вот как я бы это сделал:
$A = -2+2i = \sqrt{2^{2}+2^{2}} * e^{i\frac{3pi}{4}} = 2\sqrt{2} * e^{i\frac{3pi}{4}}$
$(2\sqrt{2} * e^{i\frac{3pi}{4}})^{7} = 8^{\frac{7}{2}} * e^{i\frac{21pi}{4}}$
$A^{7} = 8^{3}*8^{0.5}*e^{i\frac{5pi}{4}}$
$A^{7} = 1024\sqrt{2} * (cos(\frac{5pi}{4}) + isin(\frac{5pi}{4}))$
$A^{7} = -1024 - i * 1024$

Answer 2

Для вычисления числа (-2+2i) в 7-й степени по формуле Муавра, мы должны записать данное число в тригонометрической форме и умножить его на себя 6 раз.

По определению, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид r(cosθ + isinθ), где r - модуль комплексного числа, а θ - аргумент комплексного числа.

Для числа (-2+2i), модуль можно найти следующим образом:
|r| = √((-2)^2 + 2^2) = √(4+4) = √8 = 2√2

Аргумент можно вычислить так:
θ = arctan(2/-2) = arctan(-1) = -π/4 (так как комплексное число находится во II квадранте, выбираем значение аргумента из диапазона от -π/2 до π/2)

Теперь мы можем записать число (-2+2i) в тригонометрической форме:
-2+2i = 2√2 * (cos(-π/4) + isin(-π/4))

Теперь мы можем использовать формулу Муавра для возведения данного числа в 7-ю степень:
(-2+2i)^7 = (2√2)^7 * [cos(-π/4*7) + isin(-π/4*7)]

Раскроем возведение в степень:
(2√2)^7 = 2^7 * (√2)^7 = 128 * 2^(7/2) = 128 * 2^3.5 = 128 * √32 = 128√32

Теперь вычислим значение аргумента:
-π/4*7 = -π/4 * 7 = -7π/4

Подставляем полученные значения в формулу:
(-2+2i)^7 = 128√32 * (cos(-7π/4) + isin(-7π/4))

Теперь упростим выражение:
cos(-7π/4) = cos(-π/4) = √2/2
isin(-7π/4) = isin(-π/4) = -√2/2

Таким образом, число (-2+2i) в 7-й степени по формуле Муавра записывается в алгебраической форме следующим образом:
(-2+2i)^7 = 128√32 * (√2/2 - i√2/2) = 64√64 - 64i√64 = 64√64 - 64i * 8 = 64 * 8 - 64i * 8 = 512 - 512i