Question

К решению каких систем сводится решение иррационального неравенства √f(x)>g(x)

Answer 1

$\sqrt{f(x)} \ \textgreater \ g(x)\; \; \Leftrightarrow \left [ {{ \left \{ {{g(x)\ \textless \ 0} \atop {f(x) \geq 0}} \right. } \atop { \left \{ {{g(x) \geq 0} \atop {f(x)\ \textgreater \ (g(x))^2}} \right. }} \right.$

Answer 2

Решение иррационального неравенства √f(x)>g(x) сводится к решению системы неравенств, состоящей из двух условий:

1. f(x)≥0, то есть выражение под корнем неотрицательно. 2. √f(x)-g(x)>0, то есть разность корня и правой части положительна.

Для решения второго неравенства можно воспользоваться одним из следующих методов:

- Возведение обеих частей неравенства в квадрат, при условии что обе части неотрицательны. - Введение новой переменной, например y=√f(x), и решение полученного линейного или квадратного неравенства относительно y. - Использование свойств функций, например монотонности, четности или нечетности.

Пример: Решите неравенство √(x+1)>x-2.

Решение: Составим систему неравенств:

{x+1≥0 √(x+1)-x+2>0

Первое неравенство дает x≥-1. Второе неравенство можно решить методом возведения в квадрат:

√(x+1)-x+2>0 (√(x+1)-x+2)²>0 x+1-2√(x+1)(x-2)+x²-4x+4>0 x²-6x+3-2√(x+1)(x-2)>0

Так как квадратный трехчлен x²-6x+3 имеет корни x₁=3-√6 и x₂=3+√6, то его график имеет вид параболы, направленной вверх, и он положителен при xx₂. С другой стороны, выражение √(x+1)(x-2) положительно при x>2. Следовательно, исходное неравенство выполнено при xmax{2,x₂}. Учитывая первое неравенство системы, получаем окончательный ответ:

{xmax{2,x₂} {x<3-√6 или x>3+√6

Для более подробного объяснения решения иррациональных неравенств вы можете обратиться к следующим источникам:

[Иррациональные уравнения с примерами решения](https://www.evkova.org/irratsionalnyie-uravneniya) [Иррациональное уравнение — Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5) [Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств. - ЁП](https://epmat.ru/modul-algebra/urok-8-neravenstva-sistemy-neravenstv/)