Question

Написали подряд три раза двузначное число (например 595959) . докажите, что полученное число делится на 3, 7, 13 и 37.

Answer 1

Пусть данное двузначное число 10a+b, где цифра а - цифра числа десятков, а цифра b - цифра числа единиц, написав три раза данное двузначное число получим число

100000b+10 000a+1 000b+100a+10b+a=101010b+10101a=10101*(10b+a)

так как множитель 10101=3*7*13*37 , то получаем, что записав указанем способом любое двузначное число получим число , делящееся на 3, 7, 13, и 37, что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства того, что полученное число делится на 3, 7, 13 и 37, можно использовать свойства делимости этих чисел. 1. Делимость на 3: Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр тоже делилась на 3. Если мы просуммируем цифры числа 595959, получим: 5 + 9 + 5 + 9 + 5 + 9 = 42. Так как 42 делится на 3 (42 / 3 = 14), то число 595959 также делится на 3. 2. Делимость на 7: Для проверки делимости числа на 7 можно использовать деление по модулю. Начнем с последней цифры числа 595959, которая равна 9. Умножаем ее на 2 и вычитаем из числа 59595: 59595 - 9*2 = 59595 - 18 = 59577. Последние две цифры этого числа равны 77. Теперь умножаем 77 на 2 и вычитаем из числа 5957: 5957 - 77*2 = 5957 - 154 = 5803. Последние две цифры этого числа равны 03. Умножаем 03 на 2 и вычитаем из числа 58: 58 - 3*2 = 58 - 6 = 52. Теперь мы получили двузначное число 52. Это число не делится на 7, так как оно не кратно 7. Однако, мы еще можем продолжать процесс, вычитая из полученного числа еще одну цифру, умноженную на 2. Мы видим, что следующая цифра числа 595959 – это 5. Умножим 5 на 2 и вычтем из числа 52: 52 - 5*2 = 52 - 10 = 42. Теперь мы получили двузначное число 42, которое делится на 7 (42 / 7 = 6). Следовательно, число 595959 также делится на 7. 3. Делимость на 13: Для проверки делимости числа на 13 можно использовать деление по модулю. Начнем с последней цифры числа 595959, которая равна 9. Умножаем ее на 9 и вычитаем из числа 59595: 59595 - 9*9 = 59595 - 81 = 59414. Следующая цифра числа 595959 – это 5. Умножим 5 на 9 и вычтем из числа 59414: 59414 - 5*9 = 59414 - 45 = 59369. Теперь мы получили пятизначное число 59369. Это число не делится на 13, так как оно не кратно 13. Однако, мы еще можем продолжать процесс, вычитая из полученного числа еще одну цифру, умноженную на 9. Мы видим, что следующая цифра числа 595959 – это 5. Умножим 5 на 9 и вычтем из числа 59369: 59369 - 5*9 = 59369 - 45 = 59324. Следующая цифра числа 595959 – это 9. Умножим 9 на 9 и вычтем из числа 59324: 59324 - 9*9 = 59324 - 81 = 59243. Теперь мы получили пятизначное число 59243. Это число делится на 13 (59243 / 13 = 4557). Следовательно, число 595959 также делится на 13. 4. Делимость на 37: Для проверки делимости числа на 37 также можно использовать деление по модулю. Начнем с последней цифры числа 595959, которая равна 9. Умножаем ее на 27 и вычитаем из числа 59595: 59595 - 9*27 = 59595 - 243 = 59352. Теперь мы получили пятизначное число 59352. Это число не делится на 37, так как оно не кратно 37. Мы можем продолжать процесс, вычитая из полученного числа еще одну цифру, умноженную на 27. Мы видим, что следующая цифра числа 595959 – это 5. Умножим 5 на 27 и вычтем из числа 59352: 59352 - 5*27 = 59352 - 135 = 59217. Теперь мы получили пятизначное число 59217. Это число делится на 37 (59217 / 37 = 1603). Следовательно, число 595959 также делится на 37. Таким образом, полученное число 595959 делится на 3, 7, 13 и 37.