Question

Объясните и решите четко и понятно чтобы я смог такие уравнения сам решать Укажіть корінь рівняння |х^2-6х|=9, який належить проміжку (-2; 1].

Answer 1

Решение.

Решить уравнение c модулем    $\bf |x^2-6x|=9\ \ ,\ \ x\in (-2\ ;\ 1\ ]$  .  

Чтобы решить уравнение с модулем, надо знать , какого знака записано выражение под знаком модуля, так как , если выражение отрицательно, то модуль такого выражения равен противоположному выражению, то есть  $\bf |\, A\, |=-A$  ,  если  $\bf A < 0$  .   Если же выражение неотрицательно, то модуль такого выражения равен самому этому выражению, то есть  $\bf |\, A\, |=A$  ,  если  $\bf A\geq 0$  .  

Рассмотрим два случая .

$\bf 1)\ \ x^2-6x < 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x\, (x-6) < 0\ \ \Rightarrow \ \ x\in (\, 0\, ;\, 6\, )\\\\|x^2-6x|=-(x^2-6x)=-x^2+6x$  

Тогда уравнение примет вид  

$\bf -x^2+6x=9\ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-6x+9=0\ \ ,\ \ (x-3)^2=0\ \ ,\ \ x=3$  

Найденный корень  х = 3  не принадлежит промежутку, указанному в условии  ( -2 ; 1 ] .  

$\bf 2)\ \ x^2-6x\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x\, (x-6)\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ x\in (-\infty ;\, 0\, ]\cup [\ 6\, ;+\infty \, )\ \ ,\\\\|x^2-6x|=x^2-6x$  

Тогда уравнение примет вид  

$\bf x^2-6x=9\ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-6x-9=0\ \ ,\ \ (x-3)^2-18=0\ \ ,\\\\\Big((x-3)-\sqrt{18}\Big)\Big((x-3)+\sqrt{18}\Big)=0\\\\\Big(x-3-\sqrt{18}\Big)\Big(x-3+\sqrt{18}\Big)=0\ \ \Rightarrow \\\\x_1=3+\sqrt{18}=3+3\sqrt2\approx 7,24\ \ \ ,\ \ \ x_2=3-3\sqrt2\approx -1,24\in (-2\ ;\ 1\ ]$  

Только второй корень принадлежит указанному промежутку .

Ответ:     $\boldsymbol{x=3-3\sqrt2}$  .            

Answer 2

Для начала решим абсолютное значение в данном уравнении:

|х^2-6х|=9

Если значение внутри абсолютного значения равно положительному числу, то мы можем просто убрать абсолютное значение и оставить равенство без модуля:

х^2-6х = 9

Если значение внутри абсолютного значения равно отрицательному числу, то мы должны изменить знак равенства и решить два уравнения:

х^2-6х = -9 и х^2-6х = 9

Теперь решим каждое из уравнений по отдельности.

1) х^2-6х = 9:

Перенесем 9 на другую сторону:

х^2-6х-9 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, метода завершения квадрата или квадратного корня. В этом случае проще всего воспользоваться методом завершения квадрата:

х^2-6х-9 = (х-3)^2 - 9 = 0

Теперь приравняем полученное выражение к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

(х-3)^2 - 9 = 0

(х-3)^2 = 9

х-3 = ± √9

х-3 = ±3

1) х-3 = 3:
х = 3 + 3 = 6

2) х-3 = -3:
х = 3 - 3 = 0

Получили два корня для первого уравнения: х = 6 и х = 0.

2) х^2-6х = 9:

Перенесем 9 на другую сторону:

х^2-6х-9 = 0

И снова имеем квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью факторизации или квадратного корня:

х^2-6х-9 = (х-3)^2 - 9 = 0

Теперь произведем вычисления и решим квадратное уравнение:

(х-3)^2 - 9 = 0

(х-3)^2 = 9

х-3 = ± √9

х-3 = ±3

1) х-3 = 3:
х = 3 + 3 = 6

2) х-3 = -3:
х = 3 - 3 = 0

Получили два корня для второго уравнения: х = 6 и х = 0.

Таким образом, оба корня, полученные при решении первого и второго уравнений, равняются 6 и 0. Теперь, чтобы найти корень, который принадлежит промежутку (-2; 1], мы подставим каждый из этих корней в данное неравенство и проверим, входит ли он в указанный промежуток.

Для корня х = 6:

-2 < 6 ≤ 1

Данное неравенство не выполняется, так как 6 не входит в промежуток (-2; 1].

Для корня х = 0:

-2 < 0 ≤ 1

Данное неравенство выполняется, так как 0 входит в промежуток (-2; 1].

Таким образом, корень решения заданного уравнения, который принадлежит промежутку (-2; 1], равен х = 0.