Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАНИЕ!!! Вычислите площади фигур, органиченных графиками функции. А) y=1/2x^2+2x+4 x-y+8=0Б) x^2=8y. x-2y+8=0ПОЖАЛУЙСТА С РЕШЕНИЕМ ОЧЕНЬ БУДУ БЛАГОДАРЕН​

Answer 1

Объяснение:

Дано: F(x) = 0,5*x² + (2)*x + (4),  y(x)=1*x+8

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки пересечения графиков: F(x)=y(x).

-0,5*x²+-1*x+4=0 - квадратное уравнение

b = 2 -  верхний предел, a = -4 - нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций. Прямая выше параболы.

s(x) =  y(x) - F(x) = 4 - x - 0,5*x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

S(x) = lim(8-x - 4-2*x+x)*dx =  4*x + (-1)/2*x² + (-0,5)/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(b) = S(2) = 8 -2 - 1,33 = 4,67

S(a) = S(-4) = -16 + -8 + 10,67 = -13,33

 S = S(-4)- S(2)  = 18(ед.²) - площадь - ответ

Задача Б.   y = 1/8*x²,    y = 1/2*(x+8).

Находим точки пересечения графиков.

Дано: F(x) = 0,125*x²,  y(x)= 0,5*x+4

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки пересечения графиков: F(x)=y(x).

0,125*x² - 0,5*x - 4=0 - квадратное уравнение

b = 8 - верхний предел, a = -4 - нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций. Прямая выше параболы.

s(x) =  y(x) - F(x) = -4  - 0,5*x + 0,125*x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

S(x) = -4*x - 0,5/2*x² + 0,125/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(а) = S(-4) = 16  - 4  -2,67 = 9,33

S(b) = S(8) = -32 -16 + 21,33 = -26,67

 S = S(8)- S(-4)  = 36(ед.²) - площадь - ответ

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся геометрические понятия и формулы.

А) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, мы должны найти точки пересечения этих функций. В данном случае, у нас есть две функции: y = 1/2x^2 + 2x + 4 и x - y + 8 = 0.

Первым шагом найдем точки пересечения этих функций:
x - y + 8 = 0 => y = x + 8
1/2x^2 + 2x + 4 = x + 8
1/2x^2 + x - 4 = 0

Решим это уравнение:
2(x^2 + 2x - 8) = 0
(x - 2)(x + 4) = 0
x = 2 или x = -4

Подставим найденные значения x обратно в уравнение y = x + 8 для нахождения соответствующих y:
x = 2 => y = 2 + 8 => y = 10
x = -4 => y = -4 + 8 => y = 4

Таким образом, получаем точки пересечения (2, 10) и (-4, 4).

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций. Для этого мы можем разделить эту фигуру на треугольник и четырехугольник.

Для треугольника найдем основание и высоту. Основание будет равно расстоянию между точками (2, 10) и (-4, 4), которое можно найти с помощью формулы расстояния между точками в двумерном пространстве:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
d = √((2 - (-4))² + (10 - 4)²)
d = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √(72) = 6√2

Высота будет равна расстоянию от точки (2, 10) до прямой y = x + 8. Для нахождения этого расстояния, посмотрим на перпендикуляр, опущенный из точки (2, 10) на прямую y = x + 8. Заметим, что этот перпендикуляр образует прямоугольный треугольник с прямыми y = x + 8, x = 2 и x = x'. x' - это x-координата точки пересечения перпендикуляра и прямой y = x + 8.

Таким образом, нам нужно найти x-координату точки пересечения перпендикуляра и прямой y = x + 8. Подставим это значение обратно в y = x + 8 для нахождения y-координаты точки пересечения.

x' - 2y + 8 = 0
x' = 2y - 8
2y - 8 = y + 8
y = 16

Таким образом, получаем точку пересечения (x', y) = (16, 16).

Теперь у нас есть основание треугольника (6√2) и высота (16 - 10 = 6).

Формула для вычисления площади треугольника: S = (1/2) * base * height
S = (1/2) * 6√2 * 6 = 18√2

Для четырехугольника можем использовать формулу площади по координатам вершин четырехугольника:
S = (1/2) * |x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁ - x₂y₁ - x₃y₂ - x₄y₃ - x₁y₄|

В нашем случае вершины четырехугольника - это (2, 10), (-4, 4), (16, 16) и точка пересечения (x', y) = (16, 16).

Подставив значения в формулу, получаем:
S = (1/2) * |2*4 + (-4)*16 + 16*16 + 16*10 - (-4)*10 - 16*4 - 16*16 - 2*16|
S = (1/2) * |8 - 64 + 256 + 160 + 40 - 64 - 256 - 32|
S = (1/2) * |-112|
S = 56

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 1/2x^2 + 2x + 4 и x - y + 8 = 0, равна 18√2 + 56.

Б) Для решения этой задачи мы должны найти точки пересечения графика функции x^2 = 8y с прямой x - 2y + 8 = 0.

Первым шагом найдем точки пересечения. Для этого подставим уравнение x^2 = 8y в уравнение прямой:
x - 2y + 8 = 0
x = 2y - 8

Теперь заменим x в уравнении x^2 = 8y на 2y - 8:
(2y - 8)^2 = 8y
4y^2 - 32y + 64 = 8y
4y^2 - 40y + 64 = 0
(y - 4)(y - 4) = 0
y = 4

Подставим найденное значение для y обратно в уравнение x^2 = 8y для нахождения соответствующего x:
x^2 = 8*4
x^2 = 32
x = ±√32 = ±4√2

Таким образом, получаем две точки пересечения: (-4√2, 4) и (4√2, 4).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, мы можем разделить эту фигуру на два треугольника и прямоугольник.

Для треугольников мы найдем основание и высоту:

- Первый треугольник имеет основание между точками (-4√2, 4) и (4√2, 4). Основание равно:
d₁ = 4√2 - (-4√2) = 8√2

- Высота первого треугольника равна расстоянию от точки (4√2, 4) до прямой x - 2y + 8 = 0.

Заметим, что данная прямая совпадает с осью ординат (y-координата равна нулю для всех точек прямой). Таким образом, высота первого треугольника равна 4.

Таким образом, площадь первого треугольника равна:
S₁ = (1/2) * d₁ * h₁
S₁ = (1/2) * 8√2 * 4 = 16√2

- В