Question

Вычислить наибольший корень уравнения х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0.

Answer 1

$x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0\\ \\ \Big(x^4+2x^2+1\Big)-2x^2-7x\Big(x^2+1\Big)+14x^2=0\\ \\ \Big(x^2+1\Big)^2-7x\Big(x^2+1\Big)+12x^2=0~~~\bigg|:x^2\ne0\\ \\ \left(\dfrac{1+x^2}{x}\right)^2-7\cdot \dfrac{1+x^2}{x}+12=0$

Пусть $\dfrac{1+x^2}{x}=t$, получаем квадратное уравнение относительной t

$t^2-7t+12=0$

По теореме Виета

$t_1=3\\ t_2=4$

Возвращаемся к обратной замене

$\dfrac{1+x^2}{x}=3~~~\Rightarrow~~~ x^2-3x+1=0\\ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\\ \\ \boxed{x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}}\\ \\ \\ \dfrac{1+x^2}{x}=4~~~\Rightarrow~~~ x^2-4x+1=0\\ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot 1=16-4=12\\ \\ \\ \boxed{x_{3,4}=\dfrac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}}$

Наибольший корень уравнения: $2+\sqrt{3}$

Answer 2

Для решения уравнения х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0, мы можем воспользоваться методом подстановки корней.

Сначала, мы заметим, что при подстановке x = 1 уравнение превращается в 1 - 7 + 14 - 7 + 1 = 2, что не равно нулю. Значит, x = 1 не является корнем.

Далее, мы заметим, что при подстановке x = -1 уравнение превращается в 1 + 7 + 14 + 7 + 1 = 30, что не равно нулю. Значит, x = -1 не является корнем.

После этого, мы заметим, что при подстановке x = 1/2 уравнение превращается в 1/16 - 7/8 + 7/2 - 7/2 + 1 = 1/16, что не равно нулю. Значит, x = 1/2 не является корнем.

И наконец, при подстановке x = 1/4 уравнение превращается в (1/256) - (7/64) + (14/16) - (7/4) + 1 = 1/256, что не равно нулю. Значит, x = 1/4 не является корнем.

Таким образом, мы не нашли ни одного корня уравнения х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0.