Question

Решить дифференциальное уравнение: y'+1/x*y=3x

Answer 1

$y'+\frac{y}{x}=3x;\ xy'+y=3x^2;\ (xy)'=3x^2;\ xy=\int 3x^2\, dx=x^3+C;\ y=x^2+\frac{C}{x}$

Ответ: $y=x^2+\frac{C}{x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала приведем его к линейному виду.

Исходное уравнение выглядит следующим образом:
y' + (1/x)y = 3x

Перенесем слагаемое (1/x)y на другую сторону уравнения:
y' = - (1/x)y + 3x

Обратим внимание, что данный вид уравнения является линейным дифференциальным уравнением.

Теперь применим умножение интегрального множителя для решения данного уравнения. Умножим обе части уравнения на интегральный множитель, равный x:

xy' - y = 3x^2

Теперь рассмотрим левую часть уравнения. Заметим, что это производная произведения двух функций по правилу Лейбница: (xy)' = xy' + y. Тогда:

(xy)' - y = 3x^2

Теперь перепишем уравнение в виде:

(xy)' = 3x^2 + y

Интегрируем обе части уравнения по переменной x:

∫(xy)' dx = ∫(3x^2 + y) dx

xy = x^3/3 + ∫y dx

Выразим y:

xy - ∫y dx = x^3/3

Теперь нужно найти значение интеграла ∫y dx. Для этого обозначим его как F(x). Получим:

xy - F(x) = x^3/3

Дифференцируем полученное уравнение по x:

y + xy' - F'(x) = x^2

Обратим внимание, что y' = (dy/dx). Распишем полностью, чтобы не путать:
y + x(dy/dx) - F'(x) = x^2

Теперь заметим, что y' = dy/dx. Раскроем производную:
y + x(dy/dx) - dF(x)/dx = x^2

Так как dy/dx = y', то получим:
y + xy' - dF(x)/dx = x^2

Теперь заметим, что dF(x)/dx = F'(x). Приравняем это к C, где C - произвольная константа:
y + xy' - F'(x) = x^2 + C

Таким образом, дифференциальное уравнение сводится к следующему виду:

y + xy' - F'(x) = x^2 + C

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения можно использовать различные методы, например, метод вариации постоянной или метод подстановки.

В данном случае мы не знаем формулу для F(x), поэтому для окончательного решения нам необходимо задать начальное условие или добавить другие связи между переменными, чтобы определить F(x) и получить конкретное решение уравнения.