Question

Разложите на множители : а)x^3+x^2-x-1 Б)16-4a+a^3-a^4

Answer 1

A) x²(x+1) -(x+1)=(x+1)(x²-1)= (x+1)(x-1)(x+1)=(x-1)(x+1)²

b) (16-a^4)-(4a-a^3)=(4-a²)(4-a²)-a(4-a²)=(4-a²)(4-a²-a)= (2-a)(2+a)(4-a²-a)

Answer 2

Давайте разложим оба выражения на множители.

а) x^3 + x^2 - x - 1

Для начала, мы можем заметить, что данное выражение является кубическим полиномом. Мы можем попробовать найти его рациональные корни с помощью теоремы Рациональных корней (или теоремы о множителях), которая гласит, что если полином имеет рациональный корень p/q, то p - это делитель свободного члена, а q - делитель старшего коэффициента (коэффициента при x^3).

Свободный член этого полинома равен -1, а старший коэффициент равен 1. Таким образом, мы можем искать рациональные корни, которые могут быть делителями -1. Рациональные корни могут быть 1, -1, и их обратными (то есть 1/1 и -1/1).

Попробуем подставить эти значения в полином и посмотрим, когда он равен нулю:

1. При x = 1: 1^3 + 1^2 - 1 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0, значит (x - 1) - это один из множителей. 2. При x = -1: (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0, значит (x + 1) - это один из множителей.

Теперь мы можем поделить исходный полином на найденные множители, используя синтетическое деление или деление полиномов. Результатом будет:

(x^3 + x^2 - x - 1) = (x - 1)(x + 1)(x + 1)

Итак, полином разложен на множители: x^3 + x^2 - x - 1 = (x - 1)(x + 1)(x + 1).

б) 16 - 4a + a^3 - a^4

Сначала давайте перепишем этот полином в порядке убывания степеней переменной a:

-a^4 + a^3 - 4a + 16

Аналогично, мы можем попробовать найти рациональные корни этого полинома. В данном случае, свободный член равен 16, а старший коэффициент равен -1. Рациональные корни могут быть делителями 16, что включает в себя ±1, ±2, ±4, ±8, и ±16.

Попробуем подставить эти значения и проверить, когда полином равен нулю:

1. При a = 1: -1 + 1 - 4 + 16 = 12, что не равно нулю. 2. При a = -1: -1 - 1 + 4 + 16 = 18, что не равно нулю. 3. При a = 2: -16 + 8 - 8 + 16 = 0, значит (a - 2) - это один из множителей.

Теперь мы можем разделить исходный полином на найденный множитель:

(-a^4 + a^3 - 4a + 16) = -(a - 2)(a^3 - 2a^2 - 4a - 8)

Далее, вы можете попробовать разложить множитель a^3 - 2a^2 - 4a - 8 на дополнительные множители, если это необходимо.