Question

1)1/x>1/3     2)(x^2-36)/(x^2+6x)<0     3)(x-1)/(x-5)>2   4)(x-1)/(x+3)>3  

Answer 1

1/x>1/3,

x≠0,

1/x-1/3>0,

(3-x)/(3x)>0,

3x(3-x)>0,

x(3-x)>0,

3-x=0, x=3,

0<x<3,

x∈(0;3)

 

(x^2-36)/(x^2+6x)<0,

x^2+6x≠0, x(x+6)≠0, x≠0, x≠-6,

(x-6)(x+6)/(x(x+6))<0,

(x-6)/x<0,

x(x-6)<0,

x-6=0, x=6,

0<x<6,

x∈(0;6);

 

(x-1)/(x-5)>2,

x-5≠0, x≠5,

(x-1)/(x-5)-2>0,

(x-1-2x+10)/(x-5)>0,

(9-x)/(x-5)>0,

(x-5)(9-x)>0,

(x-5)(x-9)<0,

x-9=0, x=9,

5<x<9,

x∈(5;9);

 

(x-1)/(x+3)>3,

x+3≠0, x≠-3,

(x-1)/(x+3)-3>0,

(x-1-3x-9)/(x+3)>0,

(-2x-10)/(x+3)>0,

(x+5)/(x+3)<0,

(x+3)(x+5)<0,

x+5=0, x=-5,

-5<x<-3,

x∈(-5;-3)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из неравенств по отдельности:

1) 1/x > 1/3

Для начала перенесем 1/3 на левую сторону:

1/x - 1/3 > 0

Теперь найдем общий знаменатель и сложим дроби:

(3 - x) / (3x) > 0

Теперь нам нужно определить знак данной дроби. Для этого мы можем рассмотреть знаки числителя и знаменателя отдельно:

- Знаменатель (3x) всегда положителен, так как x может быть положительным или отрицательным, но 3 всегда положительное число.

- Числитель (3 - x) будет положительным, если x < 3, и отрицательным, если x > 3.

Теперь сравним знак числителя и знаменателя:

- Если x < 3, то оба числителя и знаменателя положительны, и дробь положительна.

- Если x > 3, то числитель отрицателен, а знаменатель положителен, и дробь отрицательна.

- Если x = 3, то дробь неопределена, так как знаменатель равен нулю.

Таким образом, решение неравенства 1/x > 1/3 - это:

x < 3 или x > 3, при условии, что x ≠ 0.

2) (x^2 - 36) / (x^2 + 6x) < 0

Для начала факторизуем числитель и знаменатель:

x^2 - 36 = (x + 6)(x - 6) x^2 + 6x = x(x + 6)

Теперь перепишем неравенство:

[(x + 6)(x - 6)] / [x(x + 6)] < 0

Теперь упростим неравенство, убрав общие множители:

(x - 6) / x < 0

Теперь определим интервалы, на которых данное неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знак числителя (x - 6) и знаменателя (x):

- Числитель (x - 6) будет положительным, если x > 6, и отрицательным, если x < 6.

- Знаменатель (x) положителен, если x > 0, и отрицателен, если x < 0.

Теперь сравним знаки числителя и знаменателя:

- Если x > 6 и x > 0 (то есть x > 6), то оба числителя и знаменателя положительны, и дробь положительна.

- Если x < 6 и x > 0 (то есть 0 < x < 6), то числитель отрицателен, а знаменатель положителен, и дробь отрицательна.

- Если x > 6 и x < 0 (это невозможно, так как x не может одновременно быть больше и меньше нуля), или если x < 6 и x < 0 (то есть x < 0), то один из числителя или знаменателя отрицателен, и дробь положительна.

- Если x = 0, то дробь неопределена, так как знаменатель равен нулю.

Итак, решение неравенства [(x + 6)(x - 6)] / [x(x + 6)] < 0 - это:

0 < x < 6, при условии, что x ≠ 0.

3) (x - 1) / (x - 5) > 2

Для начала перенесем 2 на левую сторону:

(x - 1) / (x - 5) - 2 > 0

Теперь найдем общий знаменатель и сложим дроби:

[(x - 1) - 2(x - 5)] / (x - 5) > 0

Упростим числитель:

[x - 1 - 2x + 10] / (x - 5) > 0

[-x + 9] / (x - 5) > 0

Теперь определим интервалы, на которых данное неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знак числителя (-x + 9) и знаменателя (x - 5):

- Числитель (-x + 9) будет положительным, если x < 9, и отрицательным, если x > 9.

- Знаменатель (x - 5) положителен, если x > 5, и отрицателен, если x < 5.

Теперь сравним знаки числителя и знаменателя:

- Если x < 9 и x > 5 (то есть 5 < x < 9), то числитель положителен, а знаменатель положителен, и дробь положительна.

- Если x > 9 и x > 5 (то есть x > 9), то числитель отрицателен, а знаменатель положителен, и дробь отрицательна.

- Если x < 9 и x < 5 (это невозможно, так как x не может одновременно быть больше и меньше 5), или если x > 9 и x < 5 (то есть x > 9), то один из числителя или знаменателя отрицателен, и дробь положительна.

- Если x =