Question

Решите уравнение (введите подходящую замену): а) (х²-х-1)²-10(х²-х-1)+9=0б) (х²-4х+3)²+6(х²-4х+6)-34=0

Answer 1

А)  $x^{2} -x-1=a \\ a^{2} -10a+9=0 \\ (a-9)(a-1)=0 \\ a=9 \\ a=1 \\ 1) x^{2} -x-1=9 \\ x^{2} -x-10=0 \\ D=1-4*(-10)=1+40=41 \\ x= \frac{1+- \sqrt{41}}{2} \\ 2) x^{2} -x-1=1 \\ x^{2} -x-2=0 \\ (x-2)(x+1)=0 \\ x=2 \\ x=-1$

б)  $x^{2} -4x+3=a \\ a^{2} +6(a+3)-34=0 \\ a^{2}+6a+18-34=0 \\ a^{2} +6a-16=0 \\ (a+8)(a-2)=0 \\ a=-8 \\ a=2 \\ 1) x^{2} -4x+3=-8 \\ x^{2} -4x+11=0 \\ D=16-4*11=16-44=-28 \\ 2) x^{2} -4x+3=2 \\ x^{2} -4x+1=0 \\ D=16-4*1=12 \\ x_{1} = \frac{4+2 \sqrt{3} }{2} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{2}= 2+\sqrt{3} \\ x_{2} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{2} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{2} =2-\sqrt{3}$

Answer 2

Для решения данных уравнений мы можем использовать метод замены переменных, который позволяет сделать уравнение более простым для решения. Этот метод часто используется при решении иррациональных уравнений .

Уравнение 1: (x²-x-1)²-10(x²-x-1)+9=0

Мы можем ввести новую переменную `t = x²-x-1`. Тогда наше уравнение превращается в квадратное уравнение относительно `t`. Решив это уравнение, мы получим значения `t`, а затем подставим их обратно в `t = x²-x-1`, чтобы найти значения `x` .

Уравнение 2: (x²-4x+3)²+6(x²-4x+3)-34=0

Аналогично, мы можем ввести новую переменную `t = x²-4x+3`. Тогда наше уравнение превращается в квадратное уравнение относительно `t`. Решив это уравнение, мы получим значения `t`, а затем подставим их обратно в `t = x²-4x+3`, чтобы найти значения `x` .

Важно помнить, что при решении таких уравнений полезно придерживаться двух советов: - новую переменную следует вводить сразу, при первой возможности; - после введения новой переменной получившееся уравнение решают полностью с этой переменной, отбросив, если появились посторонние корни и только потом выполняют обратную замену .

Итак, для решения этих уравнений вам нужно ввести подходящую замену переменной, превратить уравнение в квадратное уравнение относительно новой переменной, решить это уравнение и затем выполнить обратную замену.