Question

2sin^2x - 3sinxcosx + cos^2x=0  

Answer 1

Это однородное уравнение, можем поделить cos²x:

2tg²x-3tg x+1=0

Замена: 

tg x=t

2t²-3²+1=0

D=1

t₁=1

t₂=1/2

Обратная замена:

tg x =1                             tg x=1/2

x=п/4+Пk, k∈Z              x=arctg1/2+Пn,n∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение 2sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0 подробно.

1. Начнем с упрощения уравнения: 2sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Заметим, что 2sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (это следует из тождества для синуса и косинуса sin^2(x) + cos^2(x) = 1). Таким образом, уравнение можно переписать:

1 - 3sin(x)cos(x) = 0

2. Далее, мы видим, что в уравнении присутствует произведение sin(x) и cos(x). Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы упростить это произведение:

3sin(x)cos(x) = 3 * (1/2) * sin(2x) = (3/2)sin(2x)

Теперь наше уравнение выглядит так:

1 - (3/2)sin(2x) = 0

3. Теперь решим это уравнение относительно sin(2x):

1 - (3/2)sin(2x) = 0

1 = (3/2)sin(2x)

sin(2x) = 2/3

4. Теперь, чтобы найти значения x, мы должны рассмотреть обратный синус (арксинус) от (2/3):

2x = arcsin(2/3)

x = (1/2)arcsin(2/3)

Таким образом, решение данного уравнения в диапазоне от 0 до 2π будет:

x = (1/2)arcsin(2/3) ≈ 0.7297 (в радианах)

Также, учтите, что синус имеет период 2π, поэтому можно добавить к решению n*π, где n - целое число, чтобы получить дополнительные решения.